(第30课)函数的单调性与导数.ppt

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1、宿迁青华中学徐守高夏之青华3.3.1函数的单调性复习引入：1、一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.(2)作差f(x1)－f(x2)(作商)2．用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2∈D，且x1

2、练习：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.定义法单增区间：(２，+∞).单减区间：(－∞，２).图象法思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时

3、其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.图象是单调上升的.图象是单调下降的.在x∈(-∞,0)内图象是单调上升的.在x∈(0,+∞)内图象是单调上升的.图象是单调下降的.在x∈(-∞,0)内图象是单调下降的.在x∈(0,+∞)内结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注意:如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数如果f´(x)<0,则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.如果f´(x)>0,函数的单调性与其导函数正负的关系:求函数的单调区间。变1：求函数的

4、单调区间。理解训练：解：的单调递增区间为单调递减区间为解：的单调递增区间为单调递减区间为变3：求函数的单调区间。变2：求函数的单调区间。巩固提高：解:解:注意:单调区间不可以并起来.例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)>0从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。(2)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-1<0从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,)单调递减，见右图。(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)当>0

5、，即时，函数单调递增；图象见右图。当<0，即时，函数单调递减；(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;例3、已知导函数的下列信息：当10;当x>4,或x<1时，<0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负ABxyo232．应用导数信息确定函数大致图象例3、已知导函数的下列信息：试画出函数f(x)图象的大致形状。例4、求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.例题分析f(x)的单增区间为（－∞，0）和（2，＋

6、∞）f(x)的单减区间(0,2)说明：当x=0或2时,f′(x)=0,即函数在该点单调性发生改变.小结：根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f´(x)>0,得函数单增区间;解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.例5、判定函数y=ex-x+1的单调区间.递增区间为(0,+∞)递减区间为(-∞,0)练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：例题分析(1)f(x)=(2)f(x)=sinx-x，x∈(0,π)(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1注意：考虑定义域小结：1）用导数判断函数单调性步骤；2）应用导

7、数判断函数图象。