资源描述：
《高阶谱第1章高阶统计量的定义与性质.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、莀第1章高阶统计量的定义与性质薀1.1准备知识蚇芄1.随机变量的特征函数肂若随机变量x的分布函数为F(x)，则称荿()E[ejx]ejxdF(x)ejxf(x)dx螇为x的特征函数。其中f(x)为概率密度函数。蚅离散情况：()E[ejx]ejxkpk,pkp{xxk}k葿特征函数()是概率密度f(x)的付里叶变换。肈例：设x~N(a,2)，则特征函数为1e(xa)2/22ejxdx袇()2袁令z(xa)/2，则芁()1ez2j2zjadzAx2ACB2袆根据公式：e2BxCxdxeA，则A122
2、ja羇()e2122节若a0，则()e2。虿2.多维随机变量的特征函数衿设随机变量x1,x2,,xn联合概率分布函数为F(x1,x2,,xn)，则联合特征函数为羇(1,2,,n)E[ej(1x12x2nxn)]ej(1x12x2nxn)dF(x1,x2,,xn)蚃令x[x1,x2,,xn]T,ω[1,2,,n]T，则莁(ω)ejωTxf(x)dX矩阵形式njkxk蚈或(1,2,,n)ek1f(x1,,xn)dx1,,dxn标量形式肇其中，f(x)f(x1,x2,,xn)为联合概率密度函数。肄例：
3、设n维高斯随机变量为衿x[x1,x2,,xn]T,a[a1,a2,,an]Tc11c12c1n蒇ccn1cn2cnn膆cikcov[xi,xk]E[(xiai)(xkak)]膁x的概率密度为薁P(x)11/2exp1(xa)Tc(xa)(2)n/2c2膆x的特征函数为Tω1T矩阵形式芆(ω)expja2ωcω其中，ω[1,2,,T,薂n](1,n1nn标量形式罿2,,n)expjaii2i1Cijiji1j1艿3.随机变量的第二特征函数莆定义：特征函数的对数为第二特征函数为羃()ln()螁(1)
4、单变量高斯随机过程的第二特征函数ja22122()lne2羈ja2蒆(2)多变量情形(1,2,,n)jn1nn莄aii2iCijiji11ji1膈1.2高阶矩与高阶累积量定义螇薆1.单个随机变量情形螅(1)高阶矩定义袀随机变量x的k阶矩定义为蝿mkE[xk]xkp(x)dx(1.1)薆显然m1，mE[x]。随机变量x的k阶中心矩定义为01袁kE[(x)k](x)kp(x)dx(1.2)蚂由式(1.2)可见，01,10,2。2薈若mk(k1,2,,n)存在，则x的特征函数()可按泰勒级数展开，即n
5、mk(jkn(1.3)蚆()1k!)O()k1节并且mk与()的k阶导数之间的关系为肀mk(j)kdk()(j)kk(0),kn(1.4)dk0莇(2)高阶累积量定义螆x的第二特征函数()按泰勒级数展开，有nck(j)kO(n)(1.5)蚃()ln()k!k1螂并且ck与()的k阶导数之间的关系为膆ck1dkkln()1dk()(j)kk(0),kn(1.6)jkdjkdk00袅ck称为随机变量x的k阶累积量，实际上由(0)1及()的连续性，存在0，使时，()0，故第二特征函数()ln()对有意
6、义且单值（只考虑对数函数的主值），ln()的前n阶导数在0处存在，故ck也存在。肄(3)二者关系芀下面推导ck与mk之间的关系。形式地在式(2.3)与式(2.5)中令n，并利用腿()1mk(j)kexpck(j)kk1k!k1k!ckk1ck21ckn羅1(j)(j)k(j)k(1.7)k!2!k1k!n!k1k!k1芁比较上式中各(j)k(k1,2,)同幂项系数，得k阶累积量与k阶矩的关系如下：羂c1m1E[x]羈c2m2m12E[x2](E[x])2E[(xE[x])2]23E[x3]3E[
7、x]E[(x2)]2(E[x])3E[(xE[x])3]3肅c3m33m1m22m1蚂c4m43m224m1m312m12m26m14E[(xE[x])4]4若E[x]0，则c1m102]莀c2m2E[x蚇c3m3E[x3]c4m43m22E[x4]3(E[x2])2肅由上可见，当随机变量x的均值为零时，其前三阶累积量与前三阶矩相同，而四阶累积量与相应的高阶矩不相同。肃膁2.多个随机变量情形螀(1)高阶矩膅给定n维随机变量(x1,x2,,xn)，其联合特征函数为蒃(1,2,,n)E[expj(1
8、x12x2nxn)](1.8)蕿其第二联合特征函数为蒈(1,2,,n)ln(1,2,,n)(1.9)芅可见，联合特征函数(1,2,,n)就是随机变量(x1,x2,,xn)的联合概率密度函数p(x1,x2,,xn)的n维付里叶变换。袄对式(1.8)与(1.9)分别按泰勒级数展开，则阶数rk1k2kn的联合矩可用联合特征函数(1,2,,n)定义为芁mk1k2knk1k2kn](j)rr(1,2,,n)(1.10)E[x1x2xnk1k2kn12nn012芇(2)高阶累积量莅同样地，阶数rk1k2kn
