高阶谱 第1章 高阶统计量定义与性质

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1、第1章高阶统计量的定义与性质1.1准备知识1.随机变量的特征函数若随机变量的分布函数为，则称为的特征函数。其中为概率密度函数。离散情况：特征函数是概率密度的付里叶变换。例：设~，则特征函数为令，则根据公式：，则　　　　　　　　若，则。2.多维随机变量的特征函数设随机变量联合概率分布函数为，则联合特征函数为令,，则矩阵形式或　标量形式16其中，为联合概率密度函数。例：设维高斯随机变量为,的概率密度为的特征函数为　　　　　　　　　　　矩阵形式其中，,　　　标量形式3.随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为第二特征函数为　　　　　　　(1)

2、单变量高斯随机过程的第二特征函数　　　　(2)多变量情形1.2高阶矩与高阶累积量定义1.单个随机变量情形(1)高阶矩定义随机变量的阶矩定义为(1.1)显然，。随机变量的阶中心矩定义为16　　　　　　　(1.2)由式(1.2)可见，,,。若存在，则的特征函数可按泰勒级数展开，即(1.3)并且与的阶导数之间的关系为(1.4)(2)高阶累积量定义的第二特征函数按泰勒级数展开，有(1.5)并且与的阶导数之间的关系为(1.6)称为随机变量的阶累积量，实际上由及的连续性，存在，使时，，故第二特征函数对有意义且单值（只考虑对数函数的主值），的前阶导数在处

3、存在，故也存在。(3)二者关系下面推导与之间的关系。形式地在式(2.3)与式(2.5)中令，并利用(1.7)比较上式中各同幂项系数，得阶累积量与阶矩的关系如下：16　　　　　　　　　　若，则　由上可见，当随机变量的均值为零时，其前三阶累积量与前三阶矩相同，而四阶累积量与相应的高阶矩不相同。2.多个随机变量情形(1)高阶矩给定维随机变量，其联合特征函数为　　　　(1.8)其第二联合特征函数为　　(1.9)可见，联合特征函数就是随机变量的联合概率密度函数的维付里叶变换。对式(1.8)与(1.9)分别按泰勒级数展开，则阶数的联合矩可用联合特征函数

4、定义为(1.10)(2)高阶累积量同样地，阶数的联合累积量可用第二联合特征函数定义为(1.11)16(3)二者关系联合累积量可用联合矩的多项式来表示，但其一般表达式相当复杂，这里不加详述，仅给出二阶、三阶和四阶联合累积量与其对应阶次的联合矩之间的关系。设和均为零均值随机变量，则(1.12a)(1.12b)(1.12c)对于非零均值随机变量，则式(1.12)中用代替即可。与单个变量情形类似，前三阶联合累积量与前三阶联合矩相同，而四阶及高于四阶的联合累积量则与相应阶次的联合矩不同。注意，式(1.12)中采用表示联合累积量的方法在以后将时常用到。

5、3.平稳随机过程的高阶累积量设为零均值阶平稳随机过程，则该过程的阶累积量定义为随机变量的阶联合累积量，即(1.13)而该过程的阶矩则定义为随机变量的阶联合矩，即(1.14)这里，表示联合矩。由于是阶平稳的，故的阶累积量和阶矩仅仅是时延16的函数，而与时刻无关，其二阶、三阶和四阶累积量分别为(1.15a)(1.15b)　　　　　　　　　(1.15c)可以看出，的二阶累积量正好就是其自相关函数，三阶累积量也正好等于其三阶矩，而的四阶累积量则与其四阶矩不一样，为了得到四阶累积量，必须同时知道四阶矩和自相关函数。1.3高阶累积量的性质高阶累积量具有

6、下列重要特性：(1)设为常数，为随机变量，则　　　　　　(2)累积量关于变量对称，即　　　　　　其中为中的任意一种排列。(3)累积量关于变量具有可加性，即　　　　(4)如果为常数，则　　　　(5)如果随机变量与随机变量相互独立，则　　　　(6)如果随机变量中某个子集与补集相互独立，则161.4高斯过程的高阶累积量1.单个高斯随机变量情形设随机变量服从高斯分布，即的概率密度函数为　　　　　　　故有　　　　　　的第二特征函数为　　　　　　　　(1.16)利用累积量与的关系式(1.6)，并比较(1.6)与(1.16)两式，可以得到随机变量的各阶累

7、积量为，，由此，我们有下列结论：(1)高斯随机变量的一阶累积量和二阶累积量恰好就是的均值和方差。(2)高斯随机变量的高阶累积量等于零。(3)由于高斯随机变量的各阶矩为可见，高阶累积量与高阶矩不一样。由于高斯随机变量的高阶矩并不比其二阶矩多提供信息，它仍取决于二阶矩的统计知识，所以人们宁愿选择高阶累积量这一统计量，直接把多余的信息用零来处理。2.高斯随机过程情形先讨论维高斯随机矢量，设其均值矢量为，协方差矩阵为16其中维高斯随机变量的联合概率密度函数为的联合特征函数为　　　　　　　　　其中，的第二联合特征函数为由于阶数的联合累积量可由第二特征

8、函数定义为　　　　　　　于是，维高斯随机变量的各阶累积量为：（1），即中某个值取1(设)，而其余值为零，于是（2），这有两种情况：1）中某两个值取1(设)，其余值为零，这时上式利