高阶统计量的定义与性质.doc

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1、第1章高阶统计量的定义与性质§1.1准备知识1.随机变量的特征函数若随机变量的分布函数为，则称为的特征函数。其中为概率密度函数。离散情况：*特征函数是概率密度的付里叶变换。例：设~，则特征函数为令，则根据公式：，则　　　　　　　　若，则。2.多维随机变量的特征函数设随机变量联合概率分布函数为，则联合特征函数为令,，则矩阵形式或　标量形式其中，为联合概率密度函数。例：设维高斯随机变量为,的概率密度为的特征函数为　　　　　　　　　　　矩阵形式其中，,　　　标量形式3.随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为

2、第二特征函数为　　　　　　　(1)单变量高斯随机过程的第二特征函数　　　　(2)多变量情形§1.2高阶矩与高阶累积量的定义1.单个随机变量情形（1）高阶矩定义随机变量的阶矩定义为显然，。随机变量的阶中心矩定义为　　　　　　　(1)由式(1)可见，,,。若存在，则的特征函数可按泰勒级数展开，即(2)并且与的阶导数之间的关系为（2）高阶累积量定义的第二特征函数按泰勒级数展开，有(3)并且与的阶导数之间的关系为称为随机变量的阶累积量，实际上由及的连续性，存在，使时，，故第二特征函数对有意义且单值（只考虑对数函数的

3、主值），的前阶导数在处存在，故也存在。(3)二者关系下面推导与之间的关系。形式地在式(2)与式(3)中令，并利用比较上式中各同幂项系数，可得阶累积量与阶矩的关系如下：　　　　　　　　　　若，则　由上可见，当随机变量的均值为零时，其前三阶累积量与前三阶矩相同，而四阶累积量与相应的高阶矩不相同。2.多个随机变量情形(1)高阶矩给定维随机变量，其联合特征函数为　　　　(4)其第二联合特征函数为　　(5)可见，联合特征函数就是随机变量的联合概率密度函数的维付里叶变换。对式(4)与(5)分别按泰勒级数展开，则阶数的联

4、合矩可用联合特征函数定义为(2)高阶累积量同样地，阶数的联合累积量可用第二联合特征函数定义为(3)二者关系联合累积量可用联合矩的多项式来表示，但其一般表达式相当复杂，这里不加详述，仅给出二阶、三阶和四阶联合累积量与其对应阶次的联合矩之间的关系。设和均为零均值随机变量，则(6a)(6b)(6c)对于非零均值随机变量，则式(6)中用代替即可。与单个变量情形类似，前三阶联合累积量与前三阶联合矩相同，而四阶及高于四阶的联合累积量则与相应阶次的联合矩不同。注意，式(6)中采用表示联合累积量的方法在以后将时常用到。3.

5、平稳随机过程的高阶累积量设为零均值阶平稳随机过程，则该过程的阶累积量定义为随机变量的阶联合累积量，即而该过程的阶矩则定义为随机变量的阶联合矩，即这里，表示联合矩。由于是阶平稳的，故的阶累积量和阶矩仅仅是时延的函数，而与时刻无关，其二阶、三阶和四阶累积量分别为　　　　　　　　　　　可以看出，的二阶累积量正好就是其自相关函数，三阶累积量也正好等于其三阶矩，而的四阶累积量则与其四阶矩不一样，为了得到四阶累积量，必须同时知道四阶矩和自相关函数。§1.3高阶累积量的性质高阶累积量具有下列重要特性：（１）设为常数，为随

6、机变量，则　　　　　　　　（２）累积量关于变量对称，即　　　　　　　　其中为中的任意一种排列。（３）累积量关于变量具有可加性，即　　　　（４）如果为常数，则　　　　　　　（５）如果随机变量与随机变量相互独立，则　　　　（６）如果随机变量中某个子集与补集相互独立，则§1.4高斯过程的高阶累积量1.单个高斯随机变量情形设随机变量服从高斯分布，即的概率密度函数为　　　　　　　故有　　　　　　　　的第二特征函数为　　　　　　　　(7)利用累积量与的关系式(3)，并比较(3)与(7)两式，可以得到随机变量的各阶累积量

7、为，，由此，我们有下列结论：(1)高斯随机变量的一阶累积量和二阶累积量恰好就是的均值和方差。(2)高斯随机变量的高阶累积量等于零。(3)由于高斯随机变量的各阶矩为可见，高阶累积量与高阶矩不一样。由于高斯随机变量的高阶矩并不比其二阶矩多提供信息，它仍取决于二阶矩的统计知识，所以人们宁愿选择高阶累积量这一统计量，直接把多余的信息用零来处理。2.高斯随机过程情形先讨论维高斯随机矢量，设其均值矢量为，协方差矩阵为其中维高斯随机变量的联合概率密度函数为的联合特征函数为　　　　　　　　　其中，的第二联合特征函数为由于阶

8、数的联合累积量可由第二特征函数定义为　　　　　　　于是，维高斯随机变量的各阶累积量为：（1），即中某个值取1(设)，而其余值为零，于是（2），这有两种情况：1）中某两个值取1(设)，其余值为零，这时上式利用了关系式。2)中某个值取2（设），其余值为零，这时（3），由于是关于自变量的二次多项式，因而关于自变量的三阶或三阶以上（偏）导数等于零，因而的三阶或三阶以上联合累积量等于零，即　　　　　　　由上一节关于随机过程