高阶谱 第3章 线性系统中的高阶累积量与高阶谱

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1、第3章线性系统中的高阶累积量与高阶谱SISO单入单出系统3.1输入为高斯白噪声情况分析设是方差为的高斯白噪声，附加噪声是方差为的高斯白噪声，且与统计独立。为系统输出。和分别表示相关函数和功率谱。则　　　(3.1)　　　　(3.2)　　　　(3.3)系统函数证：1°102°功率谱是相位盲，不含有相位信息。3°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3.2输入为非高斯iid噪声情况分析设为非高斯iid信号，其阶累积量　　　　(3.4)附加噪声为高斯（白）有色噪声。10则：①　(3.5)　　②　(3.6)　　　　(3

2、.7)证：①　　　　　　　　　　　　(3.8)其中：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　则②10其中　3.3输入为非高斯有色噪声设：是非高斯有色噪声，是高斯有色噪声，均为平稳过程。则：①　　　　　　　　　　　多维卷积公式(3.9)其中　多维相关函数(3.10)　　　(3.11)②(3.12)(3.13)证：①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用前面证明过程，即(3.8式)。令：，，则10由于是平稳的，且设，则上式中　　设：，，…，上式　②　　3.4多输入多输出情况分析10·准备知识：Kronecke

3、r矩阵乘积。定义：用表示Kronecker矩阵乘积。　矩阵与矩阵的Kronecker乘积，是矩阵，即(3.14)　　　　　　　　　(3.15)·Kronecker乘积的性质：（1）(3.16)（2）(3.17)（3）(3.18)（4）(3.19)（5）(3.20)（6）(3.21)（7）(3.22)（8）(3.23)3.4.1矢量的高阶累积量设是一个维矢量(3.24)研究方法：1.(3.25)　　设　　　其中10　　　(3.26)2.互累积量(CrossCulmulant)三阶互累积量(3.27)·3.元素矢量（　elementv

4、ecter）说明：设是元素矢量　　　其中是矢量的维数，是阶累积量，矩阵中有个元素。　　·常常用表示中第个元素。例：设二维二阶累积量阵。阵。元素：个――的第个元素；1――的第个元素；2――的第个元素；3――的第个元素；4又例：，(3.28)·元素随机矢量元素矢量定义：设表示维矢量的元素矢量（累积量）。用（其中）表示元素矢量的第个元素。矢量过程　　　　(3.29)用表示第个元素，10·用元素矢量的优点：(1)使运算简单(2)用kroneck积分Swami和Mendel证明，元素非平稳过程的阶累积量公式如：(3.30)(3.31)(3.

5、32)其中，是变换矩阵阵的元素为1，其余为零。　　　　　　　　，　累积量的六个性质，可直接引入维矢量中！·设是常数阵。是元素矢量。则：　　(3.33)证；设　，，，用表示的第元素。则的第元素为　　　　　　　　　　　　10　　　　　　　　(3.34)取(3.33)式右端的第个元素。　　　　　　(3.35)由于(3.34)式与(3.35)式相同，故　　　　3.4.2MIMO系统（多输入多输出系统）设：矢量是系统输出，系统单位冲击响应(IR)为，是输入矢量。则(3.36)若与相互独立则　　(3.37)其中是一元素矢量。（维数）若绝对可和

6、，则(3.38)与数量情形(3.5)式一致：10说明：设系统是线性时不变系统　　　　　　　　　　　　　　　　　　　设　10