春高等数学模拟试题(一)答案.docx

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1、2003春高等数学（1）模拟试题（一）答案（供参考）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．D2.B3.C4.A5.D二、填空题（每小题3分，共15分）x2.53.(1,)4.F(lnx)Cy1.yx5．u1x三、计算题（每小题6分，共54分）x2cos2x11cos2x11．解：limx2(xsinx)2limsinx2xx(1)xlim[1cos2x1x2]xlim(1sinx)2xx=1（6分）2．解：limex3132x3=lim3x2ex326x2（2分）x0xx03x=lim(ex32)x0=-1（6分）3．解：因为y1(12x)x2x2

2、x1211（4分）x21所以y(3)11（6分）(3)2124．解：因为在方程等号两边分别对x求导，得1xyy11(2x2yy)yx22x2)2y21(x化简得xyyxyy所以yxyxy5．解：因为e2xsinxdx=e2xcosx2e2xcosxdx=e2xcosx2e2xsinx4e2xsinxdx所以e2xsinxdx=1e2xcosx2e2xsinxC556．解：1x11xdx+11dx0x2dx=0x20x2111=1ln(x21+arctanx11)0201ln2247．解：设x2y，则原幂级数改写为yn0(n1)4n1n1因为liman1

3、=lim(n11)4n11nann1(n1)4n1=limn11(n2)44n所以yn的收敛半径为：4n0(n1)4n1故原幂级数的收敛半径为：28．解原方程是变量可分离方程，即dyxdx，y1x2（3分）（6分）（4分）（6分）（4分）（6分）（2分）（4分）（6分）两端积分，得lny1ln(1x2)lnC2即lny1x2lnCy1x2C由条件y(0)1，得C1所以方程的特解为y1x219．解：原方程的特征方程为2560，特征根为16，21，故原方程的通解为yC1e6xC2ex其中C1,C2为任意常数．将条件y(0)4，y(0)30代入，得C11，

4、C22所以原方程的特解为ye6x2ex四、应用题（本题12分）解：设所确定的x与测得的数值之差的平方和为y，即y(xx1)2(xx2)2(xx)2ny2(xx1)2(xx2)2(xxn)令y0，即2nx2x12x22xn0，得xx1x2xnn因为y(x)2n0，所以x为y的最小值.因此，当xx1x2nxn时，它与测得的数值之差的平方和为最小五、证明题（本题4分）（3分）（6分）（3分）（6分）（4分）（8分）.（12分）证：设f(x)sinxxxcosxsinxcosx因为f(x)x2x2(x当0x时，有xtanx，得f(x)2sin2f(x)f(

5、)22sinx22即x2所以，当0xsinx时，x2tanx)cosxx2(xtanx)0，即f(x)单调减少.有（4分）