高中数学-4.2.1直线与圆的位置关系课件-新人教a版必修2复习课程.ppt

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1、高中数学-4.2.1直线与圆的位置关系课件-新人教A版必修2直线与圆有三种位置关系:(1)直线与圆________,有两个公共点.(2)直线与圆________,有一个公共点.(3)直线与圆________,没有公共点.相交相切相离名师讲解1.判断直线与圆的位置关系的两种方法(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断:dr⇔相离.(2)联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,利用判别式“Δ”进行判断:Δ>0⇔相交,Δ=0⇔相切,Δ<0⇔相离.2.有关直线与圆相交所得的弦长问题一般地,求直线与圆相交所得

2、的弦长,可结合垂径定理与勾股定理(几何法)来处理;也可利用韦达定理(代数法)来处理.3.求圆的切线方程的常用方法(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切=代入点斜式方程可得.也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线

3、方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.典例剖析题型一直线与圆的位置关系例1:直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相切､相离还是相交?消去y,并整理可得,x2-6x+9=0.Δ=(-6)2-4×9=0,∴直线与圆相切.方法2:将已知圆配方得(x-2)2+(y+1)2=2,∴圆心(2,-1)到直线的距离∴故直线与圆相切.规律技巧:判断圆与直线的位置关系有以下两种方法:(1)把圆C的圆心C(a,b)到直线l的距离d与圆的半

4、径r作比较,即圆C与直线l相离⇔d>r;圆C与直线l相切⇔d=r;圆C与直线l相交⇔d

5、线的斜率为k,半径OM的斜率为k1.因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.变式训练2:求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程.(1)经过点(2)经过点Q(3,0);(3)斜率为-1.解:(1)∵∴点在圆上,故所求切线方程为(2)∵32+02>4,∴点Q在圆外.设切线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径.∴∴k=±∴所求切线方程为y=±即(3)设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程,整理得2x2-2bx+b2-4=0.∵直线与圆相切,

6、∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0.解得b=±所求切线方程为x+y±规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.题型三弦长问题例3:直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长为求l的方程.分析:若直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长得方程求k.解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2),两边平方,整理得2k2-5

7、k+2=0.解得或k=2.代入(1)知,Δ>0.故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径,AH是弦长AB的一半,在Rt△AHO中,OA=5,规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法,即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长､弦心距､半径组成直角三角形,利用直角三角形求解.本例说明几何法比代数法简便.变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.消

8、去y得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,∴y1=3,y2=0.∴两交点坐标A(1,3),B(2,0),∴弦长易错探究例4:求过点P(6,-8)与圆C:x2+y2-2x-4y-20=0相切的直线方程.错解:将圆的