函数的单调性与最大(小)值.ppt

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1、第二节　函数的单调性与最大(小)值1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔_______________；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔________________．f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)2．单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_________或________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的__________．增函数减函数单调区间3．函数的最值前提设函数f(x)的

2、定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有____________；②存在x0∈I，使得___________.①对于任意的x∈I，都有___________；②存在x0∈I，使得____________.结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1．如图2－2－1所示函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)吗？【提示】不是，其单调增区间为(－∞，0]，(0，＋∞)．2．对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)[f(x1)－f(x

3、2)]＞0则能否确定f(x)在D上的单调性？1．(人教A版教材习题改编)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2【答案】C【解析】结合函数的图象易知选D.【答案】D3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是________．【解析】由f(x)＝(x－3)ex，得f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)＞0，得x＞2，故f(x)的增区间是(2，＋∞)．【答案】(2，＋∞)【审题视点】(1)根据复合函数的单调性求解．(2)用定义法或导数法求解．【尝试解答】(1)由x2－1

4、＞0得x＞1或x＜－1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数．t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)的递减区间为(－∞，－1)．当a＞0时，f′(x)＜0；当a＜0时，f′(x)＞0.∴当a＞0时，f(x)在(－1，1)上为减函数．当a＜0时，f(x)在(－1，1)上为增函数．1．解答本题(1)时，应先求定义域，在定义域内求单调区间．2．函数单调性的判定方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法．3．函数y＝f[g(x)]的

5、单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．∴当x1，x2∈(－∞，－1]时，x1＋x2＜0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故函数在(－∞，－1]上是减函数．当x1，x2∈[1，＋∞)时，x1＋x2＞0，则f(x1)－f(x2)＜0，故函数在[1，＋∞)上是增函数.(2013·惠州调研)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)最大值为()A．4B．5C．6D．7【思路点拨】明确f(x)的意义，数形结合求f(

6、x)的最大值．【尝试解答】如图所示，在同一坐标系中作出y＝x＋2，y＝2x，y＝10－x(x≥0)的图象．根据f(x)定义知，f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象(如图实线部分)．【答案】C求函数最值(值域)的常用方法1．利用单调性是求函数最值的最主要方法，函数图象是单调性的最直观体现，函数的最大(小)值是图象的最高(低)点的纵坐标，本题借助图象的直观性求得最大值．2．配方法：若函数是二次函数，常用配方法．3．基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法．4．导数法：当函数较复杂时，一般采用此法．5．换元法：用换元法时一定

7、要注意新变元的范围．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12【解析】依题意，当－2≤x≤1时，1⊕x＝1，2⊕x＝2，∴f(x)＝1×x－2＝x－2，且f(x)在[－2，1]上为增函数，【答案】C【思路点拨】分a≥0和a＜0两种情况讨论．1．已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之，已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．2．不等式m＞f(x)恒成立⇔m

8、＞f(x)max，m＜f(x)恒成立⇔m＜f(x)m