函数的单调性与最大(小)值课件

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1、1.3.1　函数的单调性与最大(小)值第一课时　函数的单调性学习目标要求：1.理解函数单调性的概念；2.掌握判断函数单调性的一般方法；3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值，掌握其应用。一、函数单调性的概念1：增函数(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1

2、义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间。(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是下降的，如图所示：3：单调性与单调区间定义：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。思考：(1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗?不是，由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义域的子集，这说明单调性是与“区间”

3、紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的单调性。(2)定义中的“x1、x2”具备什么特征?定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1,x2，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x10,减函数有<0二、判断函数单调性的一般方法(1)定义法：利用定义严格判断。一般步骤如下：①取值：任选定义域中同一单调区间D上的自变量值x1，x2，且设x1

4、②中的差式f(x2)-f(x1)进一步化简变形，变到利于判断f(x2)-f(x1)的正负为止；变形的主要技巧：A、因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；B、通分：当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；C、配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；D、分子或分母有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子或分母有理化，如f(x)=④定号：根据变形结果，确定f(x2)-f(x1)的符号；⑤判断：根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论。典型例题例1

5、：证明函数f(x)=x+在(0,1)上为减函数。例2：用单调性的定义证明函数在R上是减函数。(2)图象法：作出函数的图象,用数形结合的方法确定函数的单调性。(3)直接法：对于我们所熟悉的函数，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数等。(4)记住几条常用的结论：a.函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反;b.当f(x)>0或f(x)<0时,函数y=与y=f(x)的单调性相反;c.在公共区间内，“增+增=增”，“减+减=减”，“增-减=增”，“减-增=减”。思考：(1)单调区间的端点值如何取舍?对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没

6、有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在某些端点无意义时，单调区间就不能包括这些点。(2)多个单调递增(减)区间之间能否用“∪”连接?不能取这些区间的并集，而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接。三、函数单调性的应用1、已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围。名师导引：(1)二次函数的单调性取决于什么？开口方向（a>0，开口向上；a<0，开口向下）与对称轴（-b/2a）(2)(-∞,4]是函数的单调递减区间吗?可能不是，可能是其子集。解：∵f(x

7、)=x2+2(a-1)x+2，∴此二次函数图象的对称轴为x=1-a，∴f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]，∵f(x)在(-∞,4]上是减函数，∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合，∴1-a≥4，解得a≤-3，即实数a的取值范围为(-∞,-3]。思考：“函数f(x)的单调区间是(a,b)”与“f(x)在区间(a,b)上单调”有何不同的含义?前者表明区间(a,b)是其单调区间的全部，而后者表明区间(a,b)是其单调区间的子集。2、函数y=x2-2mx+3在区间[1,3]上具有单调性,则m的范围为。 解析:∵函数图象的对称轴为x=m,∴函数在(-∞

8、,m]上递减,[m,+∞