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《2.2 函数的单调性与最大(小)值》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.2函数的单调性与最大(小)值要点梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2基础知识自主学习定义当x1f(x2)上升的下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间
2、D上是________或________,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,________叫做f(x)的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I,都有___________;②存在x0∈I,使得_____________.①对于任意x∈I,都有____________;②存在x0∈I,使得_______________.结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M基础自测1.
3、下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分别为一次函数、二次函数、反比例函数,从它们的图象上可以看出在(0,2)上都是减函数.B2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根()A.有且只有一个B.有2个C.至多有一个D.以上均不对解析∵f(x)在R上是增函数,∴对任意x1,x2∈R,若x14、R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.C3.已知f(x)为R上的减函数,则满足的实数x的取值范围是()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析由已知条件:不等式等价于解得-15、1)-f(x2)]>0;②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;③④其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.解析依据增函数的定义可知,对于①③,当自变量增大时,相对应的函数值也增大,所以①③可推出函数y=f(x)为增函数.①③题型一函数单调性的判断【例1】已知函数证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(1)用函数单调性的定义.(2)用导数法.证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x10,思维启迪题型分类深度剖析又∵x1+1>0,x2
6、+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.方法二求导数得∵a>1,∴当x>-1时,axlna>0,f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,则f(x)在(-1,+∞)上为增函数.对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解.可导函数则可以利用导数解之.探究提高知能迁移1试讨论函数x∈(-1,1)的单调性(其中a≠0).解方法一根据单调性的定义求解.设-17、<1,∴
8、x1
9、<1,
10、x2
11、<1,x2-x1>0,即-10.因此,当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0时,∵-10时,f(x)在(-1,1)上为减函数;a<0时,f(x)在(-1,1)
12、上为增函数.题型二复合函数的单调性【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3),则使f(x)为减函数的区间是()A.(3,6)B.(-1,0)C.(1,2)D.(-3,-1)先求得函数的定义域,然后再结合二次函数、对数函数的单调性进行考虑.解析由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,结合二次函数的对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是减函数,所以在区间(-∞,-1)上是减函数,由此可得D项符合.故选D.思维启迪D(1)复合函数是指由若干个函