函数的单调性与最大(小)值(五)

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1、函数的最大(小)值夏建岭1.理解函数最大(小)值及其几何意义.2.能利用函数的图象求最大(小)值.3.会求简单函数在闭区间上的最大(小)值.学习目标：1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)________________,(2)____________________.那么我们称M是函数y=f(x)的最大值.2.仿照函数最大值的定义,请你给出函数y=f(x)最小值的定义.答案1.对于任意的x∈I,都有f(x)≤M存在x0∈I,使得f(x0)=M2.设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M.(2)存在x0

2、∈I使得f(x0)=M.那么,我们称M为函数y=f(x)的最小值.2.函数的最值与值域(1)函数的最大值和最小值统称为函数的最值.(2)函数y=f(x)的最值是函数图象最高点与最低点的纵坐标.(3)一个函数一定存在值域,但不一定存在最值(当值域是开区间时),最值是值域为闭区间时的端点值.3.函数的最值与单调性的关系(1)若函数y=f(x)在闭区间上是增函数,则f(x)在上有最大值f(b),最小值f(a);(2)若函数y=f(x)在闭区间上是减函数,则f(x)在上有最大值f(a),最小值f(b).题型一利用函数图象求最值例1:求函数f(x)=x2-6x+5在区间[-1,5]上的最值.分析

3、:f(x)=x2-6x+5=(x-3)2-4,作出函数f(x)的图象,利用最值的几何意义求出最值.解:f(x)=(x-3)2-4,其图象如下图所示.由图象知,3∈[-1,5],∴当x=3时,f(x)有最小值f(3)=-4.又f(-1)=(-1-3)2-4=12,而f(5)=(5-3)2-4=0,∴当x=-1时,f(x)有最大值f(-1)=12.综上知,函数f(x)在区间[-1,5]上的最大值为12,最小值为-4.规律技巧:求二次函数在闭区间上的最值,若区间在对称轴同一侧,则f(a),f(b)就是最值;若对称轴在区间内,则抛物线的顶点就是最大值或最小值.然后求区间端点值,再确定另一个最小

4、值或最大值,最好结合图象作答.变式训练1:函数y=f(x)的图象如下图所示.写出该函数的最值及单调区间.解:由图象知,当x=-1时,函数有最小值-2;当x=2时,函数有最大值3.增区间是[-1,0],;减区间是[-2,-1],.题型二利用函数的单调性求最值例2:求函数在上的最值.分析:先利用定义判断函数的单调性,再求最值.解:设1≤x10,∴f(x)在上是减函数.当2

5、f(1)=5,f(3)=∴f(x)的最大值为5.规律技巧:当函数的图象不易作出时,常用函数的单调性去求最值.变式训练2:函数的最小值是________.解析:易知在定义域[1,+∞)上为增函数,故x=1时,有最小值题型三抽象函数的单调性与最值例3:已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=(1)求证f(x)是R上的减函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.分析:抽象函数的性质要紧扣定义,并同时注意特殊值的应用.解:(1)令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得f(-x)=-f(x),在R上任取x1>x

6、2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).∵x1>x2,∴x1-x2>0.又∵x>0时,f(x)<0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)-f(x2)<0.从而f(x1)

7、性入手.变式训练3:函数f(x)对x>0有意义,且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)为增函数.(1)求证:f(1)=0;(2)求f(4);(3)如果f(x-3)≤2,求x的范围.解:(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.(2)令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2.(3)由f(x-3)≤2,得f(x-3)≤f(4),于是x-3>0⇒x-3≤4x>3x≤7⇒3