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1、1.3.1单调性与最大(小)值观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:1、观察这三个图象,你能说出图象的特征吗?2、随x的增大,y的值有什么变化?问题1画出f(x)=x的图像,并观察其图像。2、在区间________上,随着x的增大,f(x)的值随着______.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降____?上升增大1、在区间________上,f(x)的值随着x的增大而______.问题2画出的图像,并观察图像.o5-5-552、在区间_______
2、_上,f(x)的值随着x的增大而_____.(-∞,0](0,+∞)减小增大函数单调性的概念:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数,如图2.yx0x1x2f(x1
3、)f(x2)y=f(x)图1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图21、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质.2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1f(x2)分别是增函数和减函数.xy21013对于函数y=f(x),若在区间I上,当x=1时,y=1;当x=2时,y=3,能说在区间I上函数值y随自变量x的增大而增大吗?如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一
4、区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数的单调性定义例1.下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数?解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.用定义证明函数单调性的步骤是:(1)取值(2)作差(4)定号(5)结论根据单调性的定
5、义得结论即取是该区间内的任意两个值且即求(3)变形通过因式分解、配方、有理化等方法即根据给定的区间和的符号来确定的符号例2求证:函数在区间上是单调增函数.,则证明:在区间(0,+∞)上任取两个值且又因为,,所以说即函数在区间(0,+∞)上是单调增函数.探究画出反比例函数的图象.1这个函数的定义域是什么?2它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论.xy0{x∣x≠0}分两个区间(0,+∞),(-∞,0)来考虑其单调性.函数f(x)=1/x在(0,+∞)上是减函数.f(x1)-f(x2)=由于x1,x
6、2得x1x2>0,又由x10所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).证明:(1)在区间(0,+∞)上,设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数,且x17、关系如何?思考f(x)8、值(minimunvalue).能否仿照函数的最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值的定义呢?思考函数的最大值是函数值域中的一个元素吗?思考是如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2,使对定义域内任意x都有成立,由此你能得到什么结论?如果函数f(x)的最大值是b,最小值是a,那么函数f(x)的值域是[a,b]吗?思考函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.探究:函数单调性与函数的最值的关系(1)若函数y=f(x)在区间[m,n](m