控制系统的时域分析法

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1、第三章控制系统的时域分析法例3-1、已知系统的结构图如3-1图所示。s-1R(s)111C(s)-2ss2+ss2+ss图3-1例3-1图（1）判断该系统的稳定性；（2）若系统不稳定，指出不在左半s平面的特征根数目。解：（1）利用梅逊公式求系统的闭环传递函数，即-232C(s)s(s+1)=R(s)1s-121-+-s(s+1)s2(s+1)2s3(s+1)2-2=54s+2s-s-2系统的特征方程为54s+2s-s-2=0其特征多项式系数不全大于0，所以可判据该系统不稳定。（2）列出劳斯表5s10-14s20-23s(0)(0)3因标识号为s的行各元素均为0，可用该行的

2、上一行元素作为系数构成一个辅助多项式4A(s)=2s-2对辅助多项式求关于s的一阶导数得3dA(s)/ds=8s13用所得新多项式各项系数代替全为0的标识号为s行的各元素，列劳斯表可继续列下去：5s10-14s20-23s802s(0)-22标识号为s行第一列元素为0，用一个无穷小正数e代之，继续列表：5s10-14s20-23s802se-2116s变号一次e0s-2劳斯表第一列元素变号一次，说明不稳定系统有一个右半s平面的根。解辅助方程：42s-2=2(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)=0解得s=1,s=-1,s=j,s=-j1234可见，系统有一个右半s平面的

3、根和一对在虚轴上的共轭虚根，即该系统共有3个不在左半s平面的根。对系统特征方程分解得(s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)=0可见，系统特征根的实际分布情况与应用劳斯判据所得结果完全一致。例3-2已知系统的特征方程为65432s+2s+8s+12s+20s+16s+16=0试判断系统的稳定性并指出系统特征根的大致分布情况。解：列写出劳斯表26s1820165s212164s21216(0)(0)用辅助多项式求导所得各项系数代入3s8242s616116s60s16劳斯表第一列元素没有变号，所以没有根在右半s平面。求解辅助方程，即43222s+12s+16=2(

4、s+2)(s+4)=0得s=±j2,s=±j21,23,4所以，该系统不稳定，有两个位于左半s平面的根和2对虚轴上的共轭虚根。讨论：利用劳斯判据判断系统稳定性时：(1)当特征式中缺项或出现负系数项时，系统不稳定；(2)当列写劳斯表第一列元素出现0或负数时，系统不稳定（劳斯表不必继续列写下去）；(3)对于不稳定系统，不稳定“右根”的数目等于劳斯表第一列元素变号的次数；(4)对于不稳定系统，位于虚轴上的共轭虚根可以通过求解辅助方程得到；(5)在高阶系统中，三阶系统稳定的充要条件是：ìai>0(i=1，2，3)íîa1a2-a0a3>0其中，a为特征多项式第i项的系数。i例3-

5、3、某随动系统（单位反馈系统）的开环传递函数为K(s+1)G(s)=32s+as+2s+1当调节放大系数K至某一数值时，系统产生频率为w=2(rad/s)的等幅振荡。试确定系统参量K和a的值。31解：由题意知系统此时处于临界稳定状态，系统具有一对共轭虚根±j2,对应于劳斯表s行全为0。系统特征方程为32s+as+(2+K)s+(1+K)=0列出劳斯表3s12+K2sa1+K11+Ks2+K-a0s1+K1-K令2+K-=0a2由s行元素构成辅助方程为2as+(1+K)=0（1）将s=±j2代入上式，得K=4a-1（2）由式（1）、（2）解得K=2a=0.75另解：若将s=

6、j2代入系统的特征方程，并令方程左边的实部和虚部均为0，也可求出K和a的值。例3-4已知系统结构图如图3-2所示，其中K>0,K>0,b³0.试分析：12R(s)C(s)K12K1ssb图3-2例3-4图（1）b值增大对系统稳定性的影响；4（2）b值增大对系统动态性能的影响；（3）b值增大对系统斜坡响应的影响。解：系统的开环传递函数为K21K1K2G(s)=K1××=s+K2βss(s+K2β)K1系统的开环放大系数为K=。β2（1）系统的特征方程为D(s)=s+K2bs+K1K2=0可见，b=0时，系统临界稳定；当b>0时，系统稳定。bK2K2b（2）因为z=×,zwn

7、=,而2K12-zp1-z248s%=e´100%ts==(D=±2%)zwnK2b所以，在0