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1、玉澳师专学报自然科学版年第期三重积分的积分次序交换问题‘张在明摘要本文使用对照标准图形,将积分区撼及其所在的空间直角坐标系进行旋转的方法,对吉米多维奇的《数学分析习题集》内,、、三题给出直观的详尽的解答。关键词坐标系的旋转标准图形三重积分的累次积分法,,、、吉米多维奇的《数学分析习题集》中第八章第节的三个习题即。,、、都是要求用各种方法来配置积分限的间题据笔者所知复旦大学南开大学华东师、大出版的分析教材以及刘玉琏傅沛仁编的《数学分析讲义》本科用与专科用两种都在。有关章节的习题内选用了这几个习题由于这些题远比二重积分的积分次序的交换
2、问题难度,,,,,,大计算也繁加之都没有配备相应的例题所以教师讲起来费劲学生做起来吃力成”。“为大家公认的难题,笔者还查阅了部分参考资料和习题解答它们对这几题的解题都较为简略或者比较抽,,,,,象不易明白掌握有鉴于此笔者特撰此文从空间图形的平面投影入手采用对照标准,,图形的方法对以上三题给出较为直观和详细的解答份爪‘刁护,,。供广大师生参考并祈指正⋯我们称以下几个类型的图形为标准图形,如图积分区域由两条连续曲线万书江,一妙甲,,甲,,与直线所围成。‘其中甲《甲则称此区域为一型区万。图域,如图积分区域由两条连续曲线平,甲与直线二,所
3、围,,甲。,成其中甲《则称此区域为一。型区域,类似地在平面和平面上的积分区域,,。义有相应的类型区域之分这里不再赘述三重积分的积分次序交换问题二之今划,如图积分区域由两个曲面,,,吕和侧面是母线之“郑招。平行于轴的柱体所围成的立体则称此区域,,少为一型区域它在平面上的投影区域易见即是、、如尸洲,,如图图分别称为一型护杖二斗,,,,惬域一型区域分别为其相斗月义冬去应。砚沙的投影区域了,瓦,召义义认召之,这样一来针对不同的积分次序的三重积‘关入〔穿,分即如下列三种公式所表达的积分,,,,,,‘‘“,“,厂狂,一,习‘玉澳师专学报自然科
4、学版年第期,‘,,··丁一,,,,‘,,·,,勺,它,,我们都可以通过空间坐标系的旋转将积分区域标准图形化即将所要研究的积分区域与上,。述标准图形相对照进而给出用各种方法配置出的积分限来、、。现在给出一三题的全部解答一、、、‘··,,,,解根据上面的公式对照上面的标准图形我们知道此题的积分区域是一,,。型区域它在平面上的投影区域为可分为一型区域和一型区域,,。,于是我们易得这个积分区域是以和,,。,一,二,。甲甲以及为积分限的立体、。,据此对照标准图形画出如图所示从,。,二。,而知是由平面,二。卜及所围成的立体亦为图。下的所示区域
5、利用二重积分的换序方法易得此时有,,·‘,汀盆‘‘汀“,,‘’“沙哺了户,少一、斌以一了产,,,“’“,“一、、。,,习乙万汉产一晒,,。三重积分的积分次序交换问题现在将图中的连同它所在的空间直角坐,标系加以旋转转换为标准图形中的一型区,。,域如图所示与图中的标准图形对照不,,、难得出此时须将剖分为然后再按公。式将其化为各累次积分,,对积分区域如图所示有,,·’‘““。一月可一甲认仃”,,卜口︸飞,,一·,,,‘,,一、二,再求积分区域上的三重积分如图所示这时注意封中的乃平面,,二一,乃平面于是有工,,一,,落汀一乞。山血七了、‘
6、玉澳师专学报自然科学版年第期,综合和上的各计算结果便得,,·’·“’““班一一···,,,,︸工一一一··沮该通︸之滋︸,,,,一,,,末了将积分区域连同所在空间直角坐标系经过旋转运动转换成一型区域如图。,所示不难断定它与图的情况类,。、‘,似我们将剖分成以后分别,将三重积分化为相应的累次积分最后综合而得‘“’“一一一一·吐华斌甲,,,,工多盆一一一一‘·,,,,工工‘一,。这样我们就给出了此题用各种方法而得来的积分限,。沿用上题的方法以下给出来下两题的解答认】二无,限圆浏‘砚,,名一一一‘‘了「丁井斌十三重积分的积分次序交换问题
7、,二,解对照公式和标准图形可知此题的积分域是由积分限·丫,,二,二,笼,一一么厂⋯石叭训了二蕊训艺丁一二一,,所组成的立体据此画出图形如’,”’,一图即为圆锥面侧芬广与平面,所围成的立体其平面投影区域为单,。位圆圆心在坐标原点上如此易得,‘‘“一,仃,,侧洲一侧⋯,,·一,侧空训了万千奋几二训’岁﹃‘﹃‘·,,一一一侧下刃训子二尹现在将图中的积分区域连同空间直,角坐标系进行施转使它变成一型区域的,,标准图形如图所示它在平有上的,,一投影区域由所围,成的三角形区域这样根据公,与标准图形易得玉澳师专学报自然科学版年第期一,·‘“·斌扩
8、“一’““,,一一召‘·‘·一乞一训,,一,侧嘴一﹄一砚︸侧扩,,户一一训子砂,,至于一型区域的情况如图所示再与,上面的结果相对照易得如下等式,,·’‘“。斌万叮尹压,,‘一一侧一么一甩比陋击甲训,,一斌一,一,记,一艺·了召训,,犷一一注意到上面
