《二次函数与一元二次方程》备课素材(数学人教九上).docx

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1、第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入池的水面中心，图22－2－1某火车站在地面上欲建造一个圆形喷水池，如图22－2－1，点O表示喷水OA表示喷水柱子，水流从点A喷出，按照图中所示的平面直角坐标系，每一股水流在空中的路线都可以用y＝－12x2＋32x＋78来描述，那么水池的半径最少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？[说明与建议]说明：通过对喷水池的实际问题的探究，建立二次函数与一元二次方程关系的模型，从而导出新课，制造悬念，使学生兴趣盎然学习新课．建议：帮

2、助学生把实际问题转化为二次函数问题的关键是弄清楚水流不致落到池外是什么意思，水流最远是多少，如何求，此时的函数值y是多少，为什么是0等问题．图22－2－2置疑导入多媒体演示：出示二次函数y＝x2－2x－3的图象，如图22－2－2所示，根据图象回答：(1)当x为何值时，y＝0?(2)你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？(3)二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0之间有什么关系？[说明与建议]说明：通过对二次函数图象问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，增加对二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3

3、＝0之间关系的了解和认识．建议：引导学生观察二次函数的图象与x轴的交点的坐标是什么，有什么意义，与方程的根有什么联系．类比导入(1)回忆：一次函数y＝kx＋b(k≠0)与一次方程kx＋b＝0之间有何关系？(2)观察：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在结构上有哪些相同之处？(3)类比猜想：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有何关系？[说明与建议]说明：通过对一次函数y＝kx＋b与一次方程kx＋b＝0的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习二次函数y＝ax2＋b

4、x＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系．建议：引导学生明白一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是当y＝0时二次函数y＝ax2＋bx＋c的特殊情形．进一步引入教材中的问题．素材二教材母题挖掘教材母题——第47页第4题抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－1，0)，(3，0)，求这条抛物线的对称轴．【模型建立】方法一：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－1，0)，(3，0)，代入求得y＝a(x－1)2－4a，所得对称轴为直线x＝1；方法二：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－1，0)，(3，0)，可设抛物线的解析式为y＝

5、a(x＋1)(x－3)，所得对称轴为直线x＝1；方法三：根据抛物线的对称性，对称轴与x轴的交点是对称轴为直线x＝1.(－1，0)，(3，0)的中点，所以本题已知简洁，结论明了，解法多样，而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中，若要画图，还要分a>0和a<0的情况讨论，适当改变条件就可得到许多新题．【变式变形】1．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝ax2＋bx＋(c－1)的对称轴是(B)A．y轴B．直线x＝1C．直线x＝2D．直线x＝3图22－2－32．如图22－2－3，抛物线y＝ax2＋bx＋

6、c交x轴于(－1，0)，(3，0)两点，则下列判断错误的是(D)A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是－1和3D．当－1＜x＜3时，y＜03．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是A(－1，0)，B(3，0)，与y轴的交点为D，顶点为C，若四边形ABCD的面积为18，求抛物线的解析式．[答案：y＝－2x2＋4x＋6或y＝2x2－4x－6]4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)判

7、断△ABC是否为直角三角形，并给出理由．[答案：(1)y＝x2－2x－3(2)不是理由略]图22－2－45．如图22－2－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标．[答案：(1)y＝－x2＋2x＋3，顶点D的坐标为(1，4)(2)S四边形PMAC最大值＝105，此时点P的坐标为9，3]1642素材三考情考向分析[命题角度1]根据二次函

8、数与一元二次方程的关系解方程根据二次函数确定一元二次方程的根，关键是看抛物线与x轴的交点的横坐标．如教材P47习题22.2