振型参与质量的简明推导.docx

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1、振型参与质量的计算方法（曲哲，2014.12.24）无阻尼多自由度体系在地震作用下的运行方程为：[M]{y}+[K]{y}=-[M]{1}y0(1)令{y}=[F]{q}，则有y=Φ{q}，代入式(1)有[M]Φ{q}+[K]Φ{q}=-[M]{1}y0(2)两边同时右乘[F]T，有ΦT[M]Φ{q}+ΦT[K]Φ{q}=-ΦT[M]{1}y0(3)[M]ϕ{q}+[K]ϕ{q}=-ΦT[M]{1}y0(4)其中[M]f与[K]f均为对角阵。故式(3)可写作{ϕ}sT[M]{ϕ}sqs+{ϕ}sT[K]{ϕ}sqs=-{ϕ}sT

2、[M]{1}y0,s=1~N(5)qs+KsMsqs=-{ϕ}sT[M]{1}{ϕ}sT[M]{ϕ}sy0,s=1~N(6)定义振型参与系数（modalparticipationfactor，刺激係数）βs=-{ϕ}sT[M]{1}{ϕ}sT[M]{ϕ}s(7)相应地，bs{f}s称为振型参数向量（刺激係数），与振型归一化方法无关。另有展开定理如下。设{x}=sαs{ϕ}s，两边同时右乘{ϕ}sT[M]，根据振型正交性有，{ϕ}sT[M]{x}=αs{ϕ}sT[M]{ϕ}s(8)αs=-{ϕ}sT[M]{x}{ϕ}sT[M]{ϕ

3、}s(9)对比式(7)和式(9)可知，{1}=sβs{ϕ}s(10)结构总质量imi=1TM1=sβsϕsTMsβsϕs=sβs2ϕsTMϕs=sβs2Ms(11)可见，以振型参与向量bs{f}s为振型向量得到的振型质量βs2Ms与振型归一化方法无产，且其和等于结构总质量，可作为振型参与质量。