中考数学专题讲义-四点共圆模型.docx

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1、共圆模型模型1共端点,等线段模型如图①,出现“共端点,等线段”时,可利用圆定义构造辅助圆.如图②,若OA=OB=OC,则A、B、C三点在以O为圆心,OA为半径的圆上.如图③,常见结论有:∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC.模型分析∵OA=OB=OC.∴A、B、C三点到点O的距离相等.∴A、B、C三点在以O为圆心,OA为半径的圆上.∵∠ACB是的圆周角,∠AOB是的圆心角,∴∠ACB=∠AOB.同理可证∠BAC=∠BOC.(1)若有共端点的三条线段,可考虑构造辅助圆.(2)构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题.模型实例如图,△ABC和△ACD都是等腰三角形,AB

2、=AC,AC=AD,连接BD.求证:∠1+∠2=90°.证明证法一:如图①,∵AB=AC=AD.  ∴B、C、D在以A为圆心,AB为半径的⊙A上. ∴∠ABC=∠2.在△BAC中,∵∠BAC+∠ABC+∠2=180°,∴2∠1+2∠2=180°.∴∠1+∠2=90°.证法二:如图②,∵AB=AC=AD.∴∠BAC=2∠1.∵AB=AC,∴B、C、D在以A为圆心,AB为半径的⊙O上.延长BA与圆A相交于E,连接CE.∴∠E=∠1.(同弧所对的圆周角相等.)∵AE=AC,∴∠E=∠ACE.∵BE为⊙A的直径,∴∠BCE=90°.∴∠2+∠ACE=90°.∴∠1+∠2=90°.

3、小猿热搜1.如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,在△ABC的外侧作直线AP,点B与点D关于AP轴对称,连接BD、CD,CD与AP交于点E.求证:∠1=∠2.证明∵A、D关于AP轴对称,∴AP是BD的垂直平分线.∴AD=AB,ED=EB.又∵AB=AC.∴C、B、D在以A为圆心,AB为半径的圆上.∵ED=EB,∴∠EDB=∠EBD.∴∠2=2∠EDB.又∵∠1=2∠CDB.∴∠1=∠2.2.己知四边形ABCD,AB∥CD,且AB=AC=AD=a,BC=b,且2a>b,求BD的长.解答以A为圆心,以a为半径作圆,延长BA交⊙A于E点,连接ED.∵AB∥CD,∴∠CAB=∠

4、DCA,∠DAE=∠CDA.∵AC=AD,∴∠DCA=∠CDA.∴∠DAE=∠CAB.在△CAB和△DAE中.∴△CAB≌△DAE.∴ED=BC=b∵BE是直径,∴∠EDB=90°.在Rt△EDB中,ED=b,BE=2a,∴BD===.模型2直角三角形共斜边模型模型分析如图①、②,Rt△ABC和Rt△ABD共斜边,取AB中点O,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得:OC=OD=OA=OB,∴A、B、C、D四点共圆.(1)共斜边的两个直角三角形,同侧或异侧,都会得到四点共圆;(2)四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等,完成角度等量关系的转化,是证明角度相等重要的途径

5、之一.模型实例例1 如图,AD、BE、CF为△ABC的三条高,H为垂线,问:(1)图中有多少组四点共圆?(2)求证:∠ADF=∠ADE.解答(1)6组①C、D、H、E四点共圆,圆心在CH的中点处;②D、B、F、H四点共圆,圆心在BH的中点处;③A、E、H、F四点共圆,圆心在AH的中点处;④C、B、F、E四点共圆,圆心在BC的中点处;⑤B、A、E、D四点共圆,圆心在AB的中点处;⑥C、D、F、A四点共圆,圆心在AC的中点处.(2)如图,由B、D、H、F四点共圆,得∠ADF=∠1.同理:由A、B、D、E四点共圆,得∠ADE=∠1.∴∠ADF=∠ADE.例2  如图,E是正方形

6、ABCD的边AB上的一点,过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F,求证:FE=DE.解答如图,连接DB、DF.∵四边形ABCD是正方形,且BF是∠CBA的外角平分线,∴∠CBF=45°,∠DBC=45°,∴∠DBF=90°.又∵∠DEF=90°,∴D、E、B、F四点共圆.∴∠DFE=∠DBE=45°(同弧所对的圆周角相等).∴△DEF是等腰直角三角形.∴FE=DE.1.如图,锐角△ABC中,BC.CE是高线,DG⊥CE于G,EF⊥BD于F,求证:证明:由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC,∴B、C、D、E四点共圆.∴∠DBC=∠DEG,同理,Rt∠EDF与Rt

7、△DGE共斜边DE,∴D、E、F、G四点共圆.于是∠DEG=∠DFG,因此,∠DBC=∠DFG.于是FG∥BC2.如图,BE.CF为△ABC的高,且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证:AD⊥BC.3.如图,等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上,M是QR的中点.求证:不论等边△PQR怎样运动,点M为不动点.4.如图,已知△ABC中,AH是高,AT是角平分线,且TD⊥AB,TE⊥AC.求证:∠AHD=∠AHE.证明:(1)∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°,∴D,E,H在以AT

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