自动控制8电子教案.ppt

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1、自动控制8闭环特征方程Kgs1s200-10.1-0.113-0.8870.25-0.5-0.50.5-0.5+j0.5-0.5-j0.5…-0.5+j-0.5-j增益Kg∞时，闭环特征方程的根在s平面上变化的轨迹称为根轨迹。一般控制系统闭环特征方程根轨迹的条件方程由开环传递函数以开环零、极点来表示时条件方程为复平面上任意点si，如果满足条件方程，则在根轨迹上，否则，根轨迹不过该点。可以根据一些作图法则作根轨迹图。§4.2　绘制根轨迹图的基本法则一、根轨迹的连续性由于根轨迹增益在Kg：0∞变化时是连

2、续的，所以特征根也连续变化，即根轨迹连续。二、根轨迹的对称性由于线性定常系统闭环特征方程的根必为实数或共轭复数，根轨迹图实轴对称。三、根轨迹的分支数n阶系统，其特征方程有n个根，所以当增益在由0~变化时，在s平面有n条根轨迹，即根轨迹的分支数等于n，与系统的阶数相等。四、根轨迹的起点和终点根轨迹增益Kg=0时的闭环极点称为根轨迹的起点根轨迹增益Kg=∞时的闭环极点称为根轨迹的终点由有Kg=0，两边相等，必有n条根轨迹起始于系统的n个开环极点。由有Kg∞，两边相等，必有n条根轨迹终止于系统的n个开环零点。一

3、般m≤n，n阶系统只有m个有限零点，m条根轨迹终止于m个有限零点，其余n-m条根轨迹终止于无穷远处。证明：由有因为m≤n，Kg∞，有s∞所以，其余n-m条根轨迹终止于无穷远处。例已知开环传递函数为确定根轨迹的起点与终点。解：起点为开环极点：sp1=0，sp2=-1，sp3=-5终点为开环零点：sz1，2=-1±j，sz3=∞如图所示。五、根轨迹的渐近线n-m条根轨迹将以什么方式趋向无穷远？即作渐近线。渐近线与实轴交点坐标渐近线与实轴夹角例4－2已知系统开环传递函数试确定根轨迹的支数、起点和终点、渐近线。解

4、n=3，m=0，（1）由于n=3，所以有3条根轨迹。（2）起点：-p1=0,-p2=-1和-p3=-5。终点：由于m=0，3个终点为无穷远处。（3）渐近线：与实轴的交点-及倾斜角分别为六、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹的判别方法在实轴上选取实验点si，如果实验点si右方实轴上的开环零点数和极点数的总和为奇数，则实验点所在的实验段是根轨迹，否则该实验段不是根轨迹。例4－3设系统开环传递函数为试求实轴上的根轨迹。解：[-4,-1.5],[-1,-0.5]是根轨迹，其余不是根轨迹。七、根轨迹的会合点和分离点根轨迹在

5、复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。实轴分离点和会合点的判别实轴上相邻开环极点之间是根轨迹必有分离点；实轴上相邻开环零点之间是根轨迹必有会合点；实轴上开环零点、极点之间是根轨迹，可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。分离点或会合点位置的计算重根法：基于代数重根法则，如果方程函数f(x)=0有重根，则f(x)=0的根也是f(x)=0的根。因此有联立方程：求解：求得分离点。极值法：由于函数f(x)可以在重根处获得极值，有得求解方程即可求得分离点。例4－4单位反馈系统，开环传递函

6、数为确定分离点和会合点。解：由得方程：八、根轨迹的出射角和入射角根轨迹离开共轭复数极点的出发角称为出射角，根轨迹趋于共轭复数零点的终止角称为入射角。由幅角条件出射角为入射角为例4－5已知开环传递函数，试确定根轨迹的出射角。解：由同理例4－6已知开环传递函数，计算根轨迹与虚轴交点。特征方程九、根轨迹与虚轴的交点计算根轨迹穿越虚轴的点。根轨迹穿越虚轴，其闭环根必为纯虚根，所以，可设s=jω，代入特征方程，联立实部方程和虚部方程解出。也可由劳斯判据解出得实部方程与虚部方程解出十、闭环系统极点之和与闭环系统极点之积a

7、）当n-m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和且为常数an-1。根轨迹走向以重心sg为中心，左右两边对称运动。（b）闭环极点之积和开环零极点关系如下。§4.3控制系统根轨迹的绘制一、单回路负反馈系统的根轨迹例4－7设系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解：（1）n=2，根轨迹有2支（2）起点：sq1=-0.1，sq2=-0.5终点：sz1=-1，sz2=∞（3）实轴根轨迹(-，-1]，[-0.5，-0.1]（4）计算分离点、会合点（5）绘图，根轨迹为圆，可由s=σ+jω代入特征方程证得。解：（1）n=4

8、，根轨迹有4支（2）起点：s1=0，s2=-3，s3，4=-1±j终点：s1=-2，s2，3，3=∞，∞，∞（3）实轴根轨迹(-，-3]和[-2，0]（4）分离点和会合点：无（5）渐近线例4－8设系统开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。（6）出射角（7）根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程二、参量根轨迹除根轨迹增益Kg外其它参数变化时——例如某些开环零、极点，绘制的根轨迹称参量根轨迹绘制参量根轨迹的步骤1