自动控制理论电子教案 第2章.ppt

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1、第二章控制系统的数学模型控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（变量）之间关系的数学表达式。静态数学模型：代数方程变量各阶导数为零动态数学模型：微分方程描述变量各阶导数间的关系自动控制理论中，数学模型有多种形式：时域：微分方程、差分方程复数域：传递函数、结构图频域：频率特性控制系统建模的方法：分析法：利用物理定律实验法：人为地给系统施加某种测量信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型逼近。→系统辩识2-1控制系统的时域数学模型1、控制系统微分方程的建立（1）举例例1：电路无源网络试列写以为输入量，以为输出量的网络微分方程解：设回路电流为，由基尔霍夫定律可写出

2、回路方程为消去中间变量，便得到描述网络输入输出关系的微分方程为例2：弹簧-质量-阻尼器机械移位系统试列写质量m在外力作用下，位移的运动方程解：设质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为、、，由牛顿运动定律有式中是阻尼器的阻尼力是弹簧的弹力其中，是阻尼系数，是弹性系数消去中间变量并整理后，得系统的微分方程为：F(t)综合出列写系统微分方程的步骤如下：1）根据组成系统各元部件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定系统输入量和输出量；2）分析各元部件工作所遵循的物理定律，列写相应的微分方程；3）消去中间变量，得出输出量与输入量之间关系的微分方程；4）化微分方

3、程为标准形式：输入量有关项方程右端输出量有关项方程左端两端变量导数项降幂排列（2）相似系统不同类型的元件或系统可具有形式相同的数学模型。具有相同形式数学模型的系统即为相似系统。相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，便于用一个简单的系统去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统的计算机数字仿真提供了基础。3、线性系统的基本特性（1）线性系统：用线性微分方程描述的系统式中：是系统输出，是系统输入系数是常数（线性定常系统）（2）线性系统的基本性质：可应用叠加原理叠加性、均匀性（齐次性）例：设作用时，作用时，叠加性：当、同时作用时，均匀性：当时，线性系统的叠加原理表明

4、：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。4、线性定常微分方程的求解（1）经典法：高等数学（2）拉氏变换法用拉氏变换法求解线性微分方程的步骤：1）考虑初始条件，对微分方程的每一项分别进行拉氏变换微分方程→s的代数方程；2）由s的代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；3）对输出量拉氏变换函数进行拉氏反变换，得出输出量时域表达式，即为所求微分方程的解。例：P25例2-6复习拉氏变换P597附录拉氏变换与拉氏反变换一、拉氏变换￡￡-11、定义为复频率2、拉氏变换定理（1）线性性质设、，、为常数，则（2）微分定理设，则有……

5、￡（3）积分定理设，则有……式中为的各重积分在时的值。如果，则有（4）初值定理若函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，则（5）终值定理若函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，则（6）位移定理实域中移位定理复域中移位定理（7）相似定理设，为实常数，则（8）卷积定理设、，则有总结P603表A-2拉氏变换的基本性质二、拉氏反变换1、定义2、求拉氏反变换由象函数求原函数可根据上面的拉氏反变换公式计算。对于简单的象函数，可直接应用拉氏变换对照表，查出相应的原函数。工程实践中，求复杂象函数的原函数时，通常先用部分分式展开法将复杂象函数展成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表。P6

6、04~606表A-3常用函数拉氏变换对照表3、举例P606~609一般，象函数是复变量的有理代数分式，即式中，都是实常数，是正整数，通常，。为了将化为部分分式形式，先将分母因式分解，有是的根，即的极点。（1）无重根此时，可展开为个简单的部分分式之和，即式中，为待定常数，称为在极点处的留数，可按下式计算：根据拉氏变换的线性性质，可求得原函数为例1：求的原函数。解：用留数公式可算得：经拉氏反变换求得原函数例2：求的原函数。解：式中经拉氏反变换求得原函数若的分母是的二次多项式，通常将分母配成二项平方和的形式，并作为一个整体来求原函数（直接化为正弦、余弦的形式）。比

7、如本例的可写为应用位移定理并查拉氏变换对照表，可求得原函数为（2）有重根设有个重根，则可写为式中，待定系数按下式计算：…………而系数按单根计算公式计算，即因此，原函数为例3：求的原函数。解：用留数公式算得经拉氏反变换可求得原函数为5、非线性微分方程的线性化切线法（小偏差法）：实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。特别适合于连续变化的非线性特性函数。方法：泰勒级数设在（）连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开为当增量很小时（小偏差），可忽略其高次幂，有，用偏差形式表示有略去增量符，便得函数在工作点A附近的线性方程为：NOTE：增量线性化方程

8、，仅仅研究小偏差的运动情况，也就是说只研究相对于平衡