自动控制原理-王建辉(4)素材学习资料.ppt

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1、自动控制原理-王建辉(4)素材东北大学《自动控制原理》课程组2第4章根轨迹法学习重点了解根轨迹的基本特性和相关概念了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系东北大学《自动控制原理》课程组3第4章根轨迹法根轨迹法一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。1948年，由伊文思（W.R.Evans）提出。根轨迹法的任务由已知的开环零极

2、点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。东北大学《自动控制原理》课程组44.1根轨迹法的基本概念根轨迹系统开环传递函数的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上的变化轨迹。东北大学《自动控制原理》课程组5例4.1二阶系统的根轨迹闭环传递函数特征方程闭环极点4.1根轨迹法的基本概念东北大学《自动控制原理》课程组6研究开环放大系数K与闭环特征根的关系。当取不同K值时，算得闭环特征根如下：K00-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j4.1根轨迹法的基本概念东北大学《自动控制原理》课程组7

3、4.1根轨迹法的基本概念K由0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。根轨迹直观地表示了参数K变化时，闭环特征根的变化，并且还给出了参数K对闭环特征根在S平面上分布的影响。东北大学《自动控制原理》课程组8根轨迹方程控制系统结构图开环传递函数4.1根轨迹法的基本概念东北大学《自动控制原理》课程组9式中：——开环零点；——开环极点。闭环系统特征方程式为或可写作4.1根轨迹法的基本概念东北大学《自动控制原理》课程组10这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系，该方程的解即为闭环特征根，因此该式

4、又称为根轨迹方程。上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨迹方程又可分别表示成：4.1根轨迹法的基本概念东北大学《自动控制原理》课程组11幅值条件：4.1根轨迹法的基本概念东北大学《自动控制原理》课程组12辐角条件：（充分必要条件）4.1根轨迹法的基本概念式中：—开环有限零点到s点的矢量辐角；—开环极点到s点的矢量辐角；满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。东北大学《自动控制原理》课程组134.1根轨迹法的基本概念因为在0→∞范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条

5、件。利用幅值条件计算值比较方便，它可以作为计算值的依据。东北大学《自动控制原理》课程组144.2根轨迹的绘制法则绘制根轨迹的一般步骤（1）求出和时的特征根；（2）根据绘制法则大致画出时的根轨迹草图；（3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制。东北大学《自动控制原理》课程组154.2根轨迹的绘制法则4.2.1绘制根轨迹的一般法则1．起点（）时，闭环系统的特征方程式等效为上式即为开环系统的特征方程式。所以，当=0时，闭环极点也就是开环极点。东北大学《自动控制原理》课程组164.2根轨迹的绘制法则2.终点（）当时，闭环系统的特征方

6、程式等效为上式表明，当时，闭环极点也就是开环有限零点。今设为m阶方程，故有m个开环有限零点决定了闭环极点的位置，尚有n-m个闭环极点，随着，它们都趋向无限远（无限零点）。东北大学《自动控制原理》课程组174.2根轨迹的绘制法则3.根轨迹分支数和它的对称性根轨迹分支数取决于闭环系统的特征方程式中s的最高次项，即为max(n,m)条。闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都对称于实轴。东北大学《自动控制原理》课程组184.2根轨迹的绘制法则4．实轴上的根轨迹根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角总为零；复平面上的所有零、极点

7、是共轭的，它们到实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为180∘。结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零、极点数目的总和为奇数。东北大学《自动控制原理》课程组194.2根轨迹的绘制法则证明：设为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目，为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，由辐角条件整理得所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足东北大学《自动控制原理》课程组204.2根轨迹的绘制法则例如下图所示，对于根轨迹；对根轨迹；对根轨迹。它们都是奇数。东北大学《自动控制原理》课程组214.2根轨迹的绘制法则

8、5．分离点和会合点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或会合点）。在下图上画出了两条根轨迹。我们把a点叫做分离点，b点叫做会合点。它们表示当，特征方程式会出现重根。东北大学《自动控制原理》课程组224.2