第五章应变分析ppt课件.ppt

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1、第五章应变分析单元体变形有两种形式：线单元的相对伸缩称为正应变；两个线单元间夹角的相对变化称为剪应变。应变是表示变形大小的物理量。物体变形时，质点必有位移；但质点有位移时却未必有变形；物体变形时，同时伴随有刚体运动(平动和转动)，应变分析时应该把刚体运动滤掉。应变状态可通过过一点的三个正交线单元的变形情况来确定。§5.1基本概念和应力分析相似，应变分析需要引入点的应变状态的概念。不同方向应变的大小是不同的。一点的应变状态需要一个应变张量来描述。应变张量和应力张量有着相似的性质。考察物体变形前后平行于坐标轴的线

2、单元在直角坐标系中的变化。一、直角坐标系中的应变分量线元rx的正应变为线元rx的倾角变化为rxryrxxyryrxryrxxyryoo§5.2小变形分析(一般指小于10-3的变形)线元ry的正应变为线元ry的倾角变化为推广到三维空间，一个线元可以有一个正应变和两个倾角变化。因此描述一个单元体的变形可以有九个分量。以x-y坐标面上线单元的变化为例，真正那反映物体剪切变形的是两个线元倾角变化之和。两个倾角往往并不相等。为了和剪力互等相协调，定义一个互等的剪应变为这一新定义没有改变变形的大小，只是相当于迭加

3、了一个刚体转动。推广到三维空间，可以用一个应变张量确定一点的应变状态：一、直角坐标系中的应变分量对于一个变形体而言，质点位移是位置的函数。质点是连续的，位移也是连续的。变形体各质点位移的总和构成物体的位移场。如何确定一点的位移？位移是矢量，它有三个分量，每个分量都是位置的函数。变形体的位移场可以用一组三个方程来表示：变形是由质点位移造成的。但是质点位移并不一定要造成变形。下面考察位移和表示变形的应变有什么关系。x方向位移y方向位移z方向位移二、位移函数AyxuodxCBvdyA’C’B’B’’’B’’C’’’

4、C’’为简单起见，考虑一个二维问题：设变形体上A(x,y)点位移为u(x,y)和v(x,y)，则某相邻点(x+dx,y+dy)的位移为A点移动到A’，位移为u和v。那么，与A点分别距离为dx和dy的B点和C点位移是多少？三、位移与应变之间的关系(几何方程)对于B点，可以看成是：1)刚体运动至B’点，位移为u，2)在x方向移动至B’’点，位移增量(B’B’’)为3)在y方向移动至B’’’点，位移增量(B’’B’’’)为根据应变的定义：同样，对于C点，有C’C’’=C’’C’’’=线元AB的正应变：线元AC的正应

5、变：线元AB和AC的剪应变：三、几何方程（续）推广至三维空间，便得到位移与应变关系的所谓几何方程:根据求和约定，上述六式可以简记为：注：六个应变分量是从三个位移分量得出，因此不是相互独立的。它们需要满足一组关系式(称为协调方程)。三、几何方程（续）变形后线元在坐标轴上的投影为设该线元的长度为r,在坐标轴上的投影为dx,dy,dz，则如某点变形后应变状态为，那么过该点方向余弦为l,m,n线元变形后相应的应变如何求得？变形后线元长度变为:四、单元体任意方向上的应变又知展开上式、减去r2并略去高阶微量，得：代入整理

6、得：四、单元体任意方向上的应变上式中将应变分量换成应力分量，便得到求斜面上正应力的公式。对于斜线元的剪应变，也有类似的关系。这表明应变张量和应力张量在形式上是一致的。同理，应变张量和应力张量一样具有张量的一切特征：不变量(第一不变量当体积不变时等于零)、应变张量的分解、主应变、主剪应变、应变莫尔圆等。等效应变与等效应力形式上类似，仅系数不同：五、应变张量的一些相关概念1、应变张量的分解上式可简记为：应变偏张量也有三个不变量I1’,I2’,I3’。其中I1’=0前一个张量对应着材料的形状变化，称为应变偏张量；后

7、一个张量对应着体积变化，称为应变球张量。2、主应变、应变主轴和主剪应变A)主应变、应变主轴主剪应变3、八面体应变和等效应变A)八面体应变B)等效应变特别地对于塑性应变而言，常会用到应变增量和应变速率的概念。原因有二：1)几何方程是从小变形推出的，而塑性变形的全过程往往是大变形；2)应力全量和应变全量之间一般不存在单值关系，应变增量只取决于当时的应力全量。用应变增量表示的几何方程为：两边除以dt便得到用应变速率表示的几何方程：七、应变增量和应变速率张量练习一：冲头自上而下以速度压向一圆柱体使其均匀变形，求其垂直

8、方向的应变速率。X练习二：冲头自上而下压下，使圆柱体其均匀变形，求其位移场。练习三：物体一平面的法向为主应变方向。在该平面上贴应变片测得方向正应变。试根据莫尔圆上的几何关系求各主应变。§5.3变形协调方程与塑性变形时的体积不变条件一、变形协调方程在几何方程中，六个应变分量取决于三个位移分量对x、y、z的偏导数，所以六个应变分量不能是相互无关的函数，它们之间应有一定的关系，才能保证物体中的所有单元体在