《非线性动力学》PPT课件.ppt

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1、非线性动力学姚宝恒上海交通大学船舶海洋与建工学院BeyondPerturbationIntroductiontoHomotopyAnalysisMethod•ConceptofHomotopyinTopology•BasicideasofHomotopyAnalysismethod•Examples•Applicationsofthetheoryinsolvingnonlinearequations•Conclusions•References“摄动方法”的本质：应用方程中的小（大）物理参数，将一个非线性问题转化为无穷多个线性子

2、问题。优点：物理意义明确；简单、易懂；缺点:(1)依赖小参数,当所研究问题不含小参数时使得摄动展开法面临困难(2)摄动展开解只在参数比较小的情况下能够给出较好的近似,随着“小参数”的增大,近似解精度下降,以致失效。(3)无法确保解的收敛g（x）=H（x,1）H（x,q）Hf~g拓扑理论传统的同伦概念：二、“同伦分析方法”简述H(t,q)(1q)F(t)qG(t)其中，q为嵌入变量.易知，q=0时，H(x;0)=f(x);q=1时，H(x;1)=g(x).因此，当嵌入变量q从0增加到1时，函数H(x,q)从f(x)连续变化到

3、g(x).这样，H(x,t)建立起从f(x)到和g(x)之间的联系.在拓扑(topology)〕理论中，这种连续的变化称为同伦(homotopy)，表示为H(x,q):f~g•Liao提出“广义同伦”之概念：H(t,q)(1q)F(t)qG(t)H(t,q)A(q)F(t)B(q)G(t)BasicideasofHAM•E1.非线性代数方程f(x)=0.(构造同伦)设x0为已知的初始猜测解,嵌入变量p[0,1],X(p)为一未知的嵌入变量p[0,1]的函数,我们构造如下的一个单参数的非线性代数方程:(1p)

4、f(X(p))f(x)pfX(p),0(1)当p0时,上述方程为线性方程f(X(0))f(x)0,0即X(0)x0当p1时,方程(1)变为fX(1)0则X(1)x,就是原非线性方程f(x)=0的解.因此,当嵌入变量p从0变化到1时,X(p)从初始猜测解x0变化到非线性代数方程解x,因此方程(1)构造了一个x0~x的同伦.设X(p)存在无穷阶导数m[m]X(p)x0mpp0[k]x0kX(p)X(0)pk1k!则[k]x0xx0(2)k1k![k]x0dfdX

5、(1)f(X)1(1)pf(x0)(3)dXdpp0'[1]f(x)xf(x)000x[1]f(x0)(4)0'f(x)02dfdXd2fdXdfd2X2(1)[1(1)p]220(5)dXdpdXdpdXdpp0[2][1][1]2f(x)x2(1)f(x)xf(x)(x)(6)000000[1][1]2[2]2(1)f(x0)x0f(x0)(x0)x0f(x)0[k]类似地，可以求得k阶变形导数x，则0[k]x0x

6、x0k1k!f(x)0xx0'f(x)01E2.非线性微分方程Nu()0whereNisanonlinearoperator,denotesindependentvariable,isanunknouw(nf)unction,respectively./(1p)L(,p)u0()pH()N(,p),(7)Wherep∈[0,1]istheembeddingparameter,isanonzeroauxiliaryparameter,H()isanauxiliaryf

7、unction,Lisanauxiliarylinearoperator,L[0]0u()isaninitialguessofu(,)0(,p)isaunknownfunction,respectively.Obviously,whenp=0andp=1,itholds(,0)u(),(,1)u().0Thusaspincreasesfrom0to1,thesolution(v,apri)esfromtheinitialguesstothesoulut(io)n.u()0Expanding(

8、,p)inTaylorserieswithrespectto,ponehasm(8)(,p)u0()um()pm1wherem1(,p)u()mmm!pp0IftheauxiliarylinearoperatorL,theinit