《控制系统的稳定》PPT课件.ppt

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1、第四章控制系统的稳定4.1李雅普诺夫稳定性概念4.2李雅普诺夫稳定性间接判别法4.3李雅普诺夫稳定性直接判别法4.4线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析4.5李雅普诺夫稳定性分析的应用第四章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析如果对于所有t，满足的状态称为平衡状态（平衡点）。1)平衡状态:4.1李雅普诺夫稳定性概念平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令所求得的解x,便是平衡状态。（1）只有状态稳定，输出必然稳定；（2）稳定性与输入无关。2)李雅普诺夫稳定性定义：如果对于任意小的>0，均存在一个，初始状态满足时，系统运动

2、轨迹满足lim，则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：3)一致稳定性：通常δ与、t0都有关。如果δ与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。4）渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：称此平衡状态是渐近稳定的。5）大范围稳定性：当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时。6）不稳定性：不论δ取得得多么小，只要在内

3、有一条从x0出发的轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的。注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。稳定性定义的平面几何表示设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心、半径为δ的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域内。（a）李雅普诺夫意义下的稳定性（b）渐近稳定性（c）不稳定性4.2李雅普诺夫稳定性间接判别法李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程解的特

4、性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。线性定常系统的特征值判据系统渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部，即证明：(略)李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理：根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与及t有关，是一个标量函数，记以；若不显含t，则记以。考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用或表示。实践表明，对于大

5、多数系统，可先尝试用二次型函数作为李雅普诺夫函数。4.3李雅普诺夫稳定性直接判别法4.3.1标量函数定号性正定性：标量函数在域S中对所有非零状态有且，则称均在域S内正定。如是正定的。负定性：标量函数在域S中对所有非零x有且，则称在域S内负定。如是负定的。如果是负定的，则一定是正定的。负（正）半定性：，且在域S内某些状态处有，而其它状态处均有（），则称在域S内负（正）半定。设为负半定，则为正半定。如为正半定不定性:在域S内可正可负，则称不定。如是不定的。二次型函数是一类重要的标量函数，记其中，P为对称矩阵，有。当的各顺序主子行

6、列式均大于零时，即则正定，且称P为正定矩阵。当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即则负定，且称P为负定矩阵。若主子行列式含有等于零的情况，则为正半定或负半定。不属以上所有情况的不定。二次型赛乐维斯特准则定理：设系统状态方程为，其平衡状态满足,不失一般性地把状态空间原点作为平衡状态,并设在原点邻域存在对x的连续一阶偏导数。4.3.2李雅普诺夫第二法诸稳定性定理定理1若（1）负定；则原点是渐近稳定的。负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。定理2若（1）正定；（2）负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近

7、稳定的。负半定表示在非零状态存在，但在从初态出发的轨迹上，不存在的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。定理3若（1）正定；（2）负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态沿状态轨迹能维持诺夫意义下稳定的。而不运行至原点。定理4若（1）正定；（2）正定；则原点是不稳定的。正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。正定，当正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳参考定理2可推论：定。注意：李雅普诺夫第二法诸稳定性定理

8、所述条件都是充分条件。具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数，通常选二次型函数，求其导数再将状态方程代入，最后根据是否有恒为零：令将状态方程代入，若能导出非零解，表示对，若导出的是全零解，表示只有原点满足的条件。的定号性判别稳定性。的条件是成立的；例4-1试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系