高考总复习一轮精讲：第16讲_数列求和

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1、数列求和3．(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法．4．常见的拆项公式有：(6)Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm；(7)n·n！＝(n＋1)！－n！；(8)an＝Sn－Sn－1(n≥2)．答案：B2．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为()A．2nB．2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2解析：解法一

2、：特殊值法，易知S1＝1，S2＝4，只有选项D适合，故选D.解法二：研究通项an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.答案：D答案：B答案：B【典例1】已知数列{an}是首项为a1＝4，公比为q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．(1)求公比q；(2)设An＝S1＋S2＋…＋Sn，求An.[解析](1)依题意有2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，整理得q4＋q2－2＝0，解得q2＝1或q2＝－2(舍去)．由于q≠1，所以q＝－1.[点

3、评]对于等差数列和等比数列的求和问题，可直接套用它们的前n项和公式进行求解．值得注意的是，在等比数列中，其前n项和公式需对公比q的取值进行分类讨论，当q＝1时，不能直接套用公式，尤其是当公比q是参数时，应对其分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．类型二　　倒序相加法求和解题准备：将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列对应相加时，如果有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是等差数列求和公式的推广．[点评]此题实际上是运用了倒序相加法求得所给函数值的和，由此可以看出，熟练掌握重要的定义、公式的推导过程是非常重要的，它有助于同学们理解各种解题方法，强化思维过程的

4、训练．当数列{an}满足ak＋an－k＝常数时，可用倒序相加法求数列{an}的前n项和．类型三　　错位相减法求和解题准备：1.若数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比，并向后错一项与{anbn}的同项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这样求和的方法称为错位相减法．2．错位相减法是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，也是数列求和中经常用到的一种方法．【典例3】求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和，其中a≠0.[点评]利用错位相减法求和的步骤是

5、：①在等式两边同乘等比数列{bn}的公比；②将两个等式错位相减；③利用等比数列前n项和公式求和．类型四　　裂项相消法求和解题准备：1.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，其实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．[点评]使用裂项相消法时，消去了哪些项，保留了哪些项．是否注意到由于数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．类型五　　分组转化法求和解题准备：1.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但若把数列的每一项

6、分成多个项或把数列的项重新组合，就能转化为等差数列或等比数列．从而可以利用等差、等比数列的求和公式解决．这种求和方法叫分组转化法．2．此类问题求解的关键是要分析研究数列的通项公式．[点评]本题容易忽视对x＝±1和x≠±1的讨论．事实上，当构成等比数列的各项含有参数时，一定要对公比是否为1进行讨论．快速解题技法　求下列n2个正整数之和：123…n234…n＋1345…n＋2…nn＋1n＋2…2n－1