资源描述：
《数列求和习题精选精讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数列求和一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：[例1]已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得：=＝＝1－[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得，∴＝＝＝∴当，即n＝8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积：设…②（设制错
2、位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。∴[例4]求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①…………②①－②得∴三、倒序相加法求和24这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例6]求的值解：设………….①将①式右边反序得：……②又因为，①+②得：＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列
3、，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得：Sn＝＝=＝五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）24[例9]求数列的前n项和.解：设，则＝[例10]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解
4、： ∵∴数列{bn}的前n项和：＝＝[例11]求证：解：设∵＝＝＝＝∴ 原等式成立例2.计算：六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵（找特殊性质项）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos
5、89°+cos91°）+cos90°＝0（合并求和）[例13]数列{an}：，求S2002.解：设S2002＝，由可得……24∵∴ S2002＝==＝＝5[例14]在各项均为正数的等比数列中，若的值。解：设由等比数列的性质和对数的运算性质得：＝＝＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求之和.解：由于∴＝＝＝＝[例16]已知数列{an}：的值.解：∵＝＝＝＝24数列的概念【知识点精讲】1、数列：按照一定次序排列的一列数（
6、与顺序有关）2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)。（通项公式不唯一）3、数列的表示:(1)列举法:如1,3,5,7,9……;(2)图解法:由(n,an)点构成;(3)解析法:用通项公式表示,如an=2n+1(4)递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-14、数列分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列5、任意数列{an}的前n项和的性质Sn=a1+a2+a3+……+an6、求数列中最大最小项的方法：最大最小考虑数列
7、的单调性【例题选讲】例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项（1）-1,7,-13,19,…;(2)7,77,777,777,…;(3)(4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…;(5)1,0,1,0,1,0,…;解：（1）an=(-1)n(6n-5);(2)(3)(4);(5);[点评]根据数列前几项的规律，会写出数列的一个通项公式。练习:⑴⑵3,5,9,17,33,……⑶1,2,2,4,3,8,4,16,5,……..解：例2、已知数列24（1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项，为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间（0
8、，1）内；（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由。解：设（1）令n=10,得第10项；（2）令，此方程无自然数解，所以不是其中的项（3）证明：（4）令[点评]
