资源描述：
《微分方程习题及答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.微分方程习题§1基本概念1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）x2xyy2C,(x2y)y2xy2t-y22（2）edtx1,yy(y)02..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中C,C1,C2均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）22（1）(xC)y1；（2）yC1sin2xC2cos2x.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点Px,y处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。（3）曲线上的点Px,y处的切线与y轴交点为Q,PQ
2、长度为2，且曲线过点（2，0）。§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解22（1）1xy1y；22（2）secxtanydxsecytanxdy0；dy2（3）3xyxy；dxxyxxyy（4）(22)dx(22)dy0.2．求下列微分方程的特解2xy（1）ye,yx00；21（2）xyyy,yx121/40.3.求下列微分方程的通解y（1）xyy(ln1)；x332（2）(xy)dx3xydy0.4.求下列微分方程的特解dyxy（1）22,yx01；dxxy22（2）(y3x)dy2xydx0,yx01.5.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程2（
3、1）y(xy)；（2）xyyy(lnxlny)1（3）y1xy22（4）y(xy1)dxx(1xyxy)dy06.求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线和x轴所围城三角形面积等2于常数a.P(x,y)BA7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时(t0)速度为0，求物体速度v与时间t的函数关系.8.有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P(t)随时间t变化的规律，此人胰脏是
4、否正常？9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？2/40.§3一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解y2（1）yx；x2（2）(x1)y2xycosx0；（3）ylnydx(xlny)dy0；y（4）y；2(lnyx)dyy（5）4esinx1dx2．求下列微分方程的特解（1）yytanxsecx,yx00；ysinx(2)y,y
5、x01xx3．一曲线过原点，在(x,y)处切线斜率为2xy，求该曲线方程.4．设可导函数(x)满足方程x(x)c
6、osx2(t)sintdtx1，求(x).05．设有一个由电阻R10，电感L2H，电流电压E20sin5tV串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i和时间t之关系.6．求下列贝努利方程的通解y26(1)yxyx4（2）yycosxytanxdx2（3）yxxlny0dy1xy（4）yxy22x13/40.§4可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。2xy23(1)yyx；（2）y；(3)yy2y04yy12x12.求下列方程的特解21yy,y0,y1x0x02x（2）y2xye,yx00,yx00x3．求yx的经过(0,1)且在与直线y1相切的积分曲线24．证明曲率
7、恒为常数的曲线是圆或直线.y证明：K,(K0,K0可推出y是线性函数；K可取正或负232(1y)5．枪弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为a，出板速度为b(ab)，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？§5高阶线性微分方程1.已知y1(x),y2(x)是二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的解，试证y1(x)y2(x)是yp(x)yq(x)y0的解23x2.已知二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个特解y1x,y2x,y3e，试求此方程满足y(0)0,y(0)3的特解.x3．验证y1x1,y2e1是微分方程(x1)y
8、xyy1的解，并求其通解.§6二阶常系数齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解（1）yy2y0；（2）y6y13y0；（3）y4y4y0；(4)（4）y2yy0.4/40.2．求下列微分方程的特解（1）y4y3y0,yx06,yx010（2）y25y0,yx02,yx05（3）y4y13y0,yx02,yx033.设单摆摆长为l，质量为m，开始时偏移一个小角度0，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移随时间t变化的规律.lPmg4.圆柱形浮筒直径为0.5m，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s，求xOx(t)浮筒质量.。5.长为6
9、m的链条自桌上无摩察地向
