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1、.微分方程习题§1基本概念1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）x2xyy2C,(x2y)y2xyt2（2）0ye-2dtx1,yy(y)22..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中C,C1,C2均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）(xC)2y21；（2）yC1sin2xC2cos2x.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在x,y处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点Px,y处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。（3）曲线上的点Px,y处的切线
2、与y轴交点为Q,PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）1x2y1y2；（2）sec2xtanydxsec2ytanxdy0；（3）dy3xyxy2；dx（4）(2xy2x)dx(2xy2y)dy0.2．求下列微分方程的特解（1）ye2xy,yx00；（2）xyyy2,yx1121/40.3.求下列微分方程的通解（1）xyy(lny1)；x（2）(x3y3)dx3xy2dy0.4.求下列微分方程的特解（1）dyxxy,yx01；dx2y2（2）(y23x2)dy2xydx0,yx01.5.用适
3、当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）y(xy)2；（2）xyyy(lnxlny)（3）y11xy（4）y(xy1)(12y2)dy0dxxxyx6.求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线和x轴所围城三角形面积等于常数a2.P(x,y)BA7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时(t0)速度为0，求物体速度v与时间t的函数关系.8.有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后t
4、分钟时正常胰脏中染色量P(t)随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？2/40.§3一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）yyx2；x（2）(x21)y2xycosx0；（3）ylnydx(xlny)dy0；（4）yy；2(lnyx)（5）dy4eysinx1dx2．求下列微分方程的特解（1）yytanxsecx,yx00；(2)yysinx1xx,y
5、x03(x,y)处切线斜率
6、为2xy，求该曲线方程.．一曲线过原点，在4．设可导函数(x)满足方程(x)cosx2xx1，求(x).(t)sintdt05．设有一个由电阻R10，电感L2H，电流电压E20sin5tV串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i和时间t之关系.6．求下列贝努利方程的通解y(1)yx2y6x（2）yy4cosxytanx（3）ydxxx2lny0dyxy1（4）yxy2x213/40.§4可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。(1)yyx；（2）y2xy；(3)yy2y204y3y1x21求下列方程的特解2.1yy2,yx00,yx01（2）y2
7、xyex2,yx00,yx003yx的经过(0,1)且在与直线y1相切的积分曲线．求x24．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线.证明：yK,(K0,K0可推出y是线性函数；K可取正或负(1y2)325的钢板，入板速度为a，出板速度为b(ab)，设枪弹在板内受．枪弹垂直射穿厚度为到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？§5高阶线性微分方程1.已知y1(x),y2(x)是二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的解，试证y1(x)y2(x)是yp(x)yq(x)y0的解2.已知二阶线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个特解y
8、1x,y2x2,y3e3x，试求此方程满足y(0)0,y(0)3的特解.．验证yx1,y2ex1是微分方程(x1)yxyy1的解，并求其通解.31§6二阶常系数齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解（1）yy2y0；（2）y6y13y0；（3）y4y4y0；（4）y(4)2yy0.4/40.2．求下列微分方程的特解（1）y4y3y0,yx06,yx010（2）y25y0,yx02,yx05（3）y4y13y0,yx02,yx033.设单摆摆长为l，质量为m，开始时偏移一个小角度0，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移随时间
9、t变化的规律.lPmg4.圆柱形浮筒直径为0.5m，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s，求xOx(t)浮筒质量.。5.长为6m的链条自桌上无摩察地向
