经典偏微分方程课后习题答案.pdf

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1、第四章抛物型微分方程数值解-1-第四章抛物型微分方程有限差分法2⎧∂∂uu⎪=<,0xt<1,0<≤T2∂t∂x⎪⎪1设已知初边值问题⎨ux(,0)=≤sinπx,0x≤1,试用最简显格式求上述问题的数值解。取h=0.1,⎪utut(0,)==≤(1,)0,0tT≤⎪⎪⎩r=0.1.1t解:1.矩形网格剖分区域.取空间步长h=,时间τ=0.0025以及10(1,T/τ)(2,T/τ)(1/h,T/τ)Tτ=0.01的矩形网格剖分区域,用节点(,jk)表示坐标点(,)(,)xtj=hkτ,jh==0,1,...1/;k0,1,...

2、,/Tτ,如图所示.jk显然,我们需要求解这(1/hT+×1)(/τ+1)个点对应的函数值.事2τ(1,2)(2,2)(1/h,2)实上由已知初边界条件蓝标附近的点可直接得到,所以只要确定微分k方程的解在其它点上的取值即可.沿用记号[]u=u(,)xt。(1,1)(2,1)(1/h,1)jjkτ1T2.建立差分格式,对于jk=1,...−=1;0,1,...,−1,用向前差商代hτ01/102/10…1x替关于时间的一阶偏导数,用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导kkkkk+1uuuuu−−2+jjjj+−1j1数,则可定义最简显

3、格式:=.变形有:2τhkk+1kkτur=+u(12)−+rurur(=)(4.1)jj−+11jj2h用向后差商代替关于时间的一阶偏导数,用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数,则可定义最简显kkkkk++11+1+1uuuuu−−2+jjjjj+1−1格式最简隐格式:=,变形有:2τhkk++11k−1k−+ru(12)+ru−=ruu(4.2)jj−1j+1j(4.1)*0.5+(4.2)*0.5得CN格式为:kkkk++11kkkk+1+1uuuuuuuu−−22++−+jjjjjjjj+−11+1−1=2τ2h变形有:

4、kk++11k−1kkk−++ru(22)ru−=+−+ruru(22)ruru(4.3)jj−+11jjj−1j+13初边界点差分格式处理.对于初始条件ux(,0)sin,0=πx≤≤x1离散为0uj==sinπhj0,1,...1/hj(4.4)对于边界条件utut(0,)==≤(1,)0,0tT≤离散为kkuu==0k=0,1,.../Tτ0N(4.5)中国地质大学(北京)廉海荣编第四章抛物型微分方程数值解-2-总结:联立方程(4.1)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简显格式差分方程组:kk+1kk⎧ur=+u(12)−

5、+rurujj−+11jj⎪⎪1T⎪jk=−=1,...1;0,1,...,−1⎨hτ⎪uj0==sinπhjh0,1,...1/j⎪⎪uukk==0k=0,1,.../Tτ⎩0N联立方程(4.2)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简隐格式差分方程组:kk++11k−1k⎧−+ru(12)+ru−=ruujj−+11jj⎪⎪1T⎪jk=−=1,...1;0,1,...,−1⎨hτ⎪uj0==sinπhjh0,1,...1/j⎪⎪uukk==0k=0,1,.../Tτ⎩0N联立方程(4.3)(4.4)(4.5)得到已知问题的CN格

6、式差分方程组:kk++11k−1kkk⎧−++ru(22)ru−=+−+ruru(22)rurujj−+11jjj−1j+1⎪⎪1T⎪jk=−=1,...1;0,1,...,−1⎨hτ⎪uj0==sinπhjh0,1,...1/j⎪⎪uukk==0k=0,1,.../Tτ⎩0N4求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组.h=1/10;tau=0.0025;T=0.5;r=tau/h^2;M=1/h+1;N=T/tau+1;u=zeros(M,N);form=1:Mu(m,1)=sin((m-1)*h*pi

7、);endu(1,1:N)=0;u(M,1:N)=0;forn=1:N-1form=2:M-1u(m,n+1)=r*(u(m+1,n)+u(m-1,n))+(1-2*r)*u(m,n);endendu=u’这样我们就计算出不同时刻t不同位置x对应的函数值uxt(,)kjjk取tau=0.0025,即r=0.25绘图,取tau=0.01,r=1再绘图,如图()中国地质大学(北京)廉海荣编第四章抛物型微分方程数值解-3-图4.2习题1数值解图示(左r=0.25,右r=1)⎧∂uu∂⎛⎞∂⎪=<⎜⎟xx,0.5<1,0

8、xx⎝⎠⎪⎪2.试构造初边值问题⎨ux()(),0=≤ϕx,0.5x≤1,的显格式，并给出其按最大范数稳定的⎪∂u⎪ut()0.5,==0,()1,t−≤0.51,,0ut()t≤T⎪⎩∂x充分条件。解:此即可以利用差商代替偏导数建立显格式,也可以