作者姓名钟柳强.doc

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1、作者姓名：钟柳强论文题目：求解两类Maxwell方程组棱元离散系统的快速算法和自适应方法作者简介：：钟柳强，男，1980年10月出生，2006年9月起师从湘潭大学许进超教授，2009年6月获博士学位。中文摘要目前，电磁场的研究及应用已经影响到科学技术的各个领域，但是面对电磁场实际应用中大量复杂的问题，如复杂电磁波的传播环境，复杂电磁器件的分析和设计等，不仅数学上的经典解析方法无能为力，而且实验手段也未能给予全面的解决。随着计算机技术及数值方法的发展，计算电磁场为解决实际电磁场工程中越来越复杂的建模与仿真、优化设计等问题提供了新的重要

2、研究手段，为电磁场的理论研究和工程应用开辟了一条新的研究途径。棱有限元方法是对Maxwell方程组进行数值求解的一种基本离散化方法，它能够有效地克服经典的连续节点有限元在求解某些电磁场边值问题或特征值问题时会产生非物理解这一缺陷，从而在工程应用领域得到了越来越广泛的应用。由于该离散系统通常是大规模,且高度病态,因此构造其快速求解算法十分必要.另外由于许多Maxwell方程组存在强奇性,这时若采用一致加密网格进行计算,则会引起自由度的过度增长,自适应方法是克服该缺陷的有效途径,因此研究求解Maxwell方程组的自适应有限元方法具有重要

3、意义.上述两方面的研究是当前计算电磁场中的热点,其中面临许多难点问题.本文比较系统地研究了求解两类典型Maxwell方程组棱有限元离散系统的快速算法和自适应棱有限元方法。主要内容和结果如下:首先，针对H(curl)椭圆方程组的高阶棱元离散系统，设计和分析了相应的快速迭代法和高效预条件子。关于H(curl)椭圆方程组棱元离散系统的快速算法，已有的大部分研究工作都是针对第一类Nédélec线性棱元离散系统。而在某些时候，高阶Nédélec棱有限元比线性棱元更具有优势，如可以减少误差的数值耗散，具有更好的逼近性等。但是由于高阶有限元在单元

4、上的构造比线性元更为复杂，从而给算法设计和理论分析都带来众多的困难；我们通过建立高阶Nédélec棱有限元空间的稳定性分解，分别为H(curl)椭圆方程组的高阶棱元离散系统设计了相应的快速迭代法和高效预条件子。具体来说，通过利用Jacobi(或Guass-Seild)磨光，我们可以把为k+1阶第一类Nédélec棱元方程组的计算问题转为对k阶第二类Nédélec棱元方程组的计算问题。然后，通过在第二类Nédélec棱有限元空间中的关于算子curl的核空间中求解一个二阶椭圆节点有限元方程，我们又可以将后者转化为k阶第一类Nédélec

5、棱元方程组的计算问题。注意到目前已有大量为第一类Nédélec线性棱元方程组构造的快速算法，故我们通过上述递归的方式，为H(curl)椭圆方程组的一般高阶棱元方程组构造了相应的快速算法。并且我们在理论上证明了新的迭代算法的收敛率和预条件子的条件数均不依赖于网格的规模。数值实验也验证了新迭代法和预条件子的高效性和鲁棒性。其次，针对时谐Maxwell方程组的高阶棱有限元方法，解决了其在L2范数下的拟最优误差估计这一有限元理论中的基础性研究问题，并设计和分析求解该离散系统的两网格法。关于时谐Maxwell方程组的棱有限元方法的误差估计已有

6、较多的研究工作，但是，从目前已有文献来看，关于L2模下的最优误差估计这一有限元法的基本理论仍然没有被建立；本文比较巧妙地利用离散的Helmholtz分解来处理误差函数落在无散场和无旋场中的分量，并利用连续散度为零函数对离散散度为零函数的逼近性和标准对偶论证，获得了在L2和H(curl)范数下的拟最优误差估计。特别是关于第二类Nédélec棱元，通过利用相关插值算子的逼近性，还得到了最优的误差收敛阶。两网格法最早由许进超在上个世纪九十年代针对椭圆边值问题提出，其基本思想是先在粗空间上解一个原问题，然后在细空间上求一个相应的对称正定问题

7、。由于原问题是在一个自由度较小的空间内求解，因此其计算代价可以忽略。后来，该工作引发了大量后续研究。但是直接把两网格法应用于时谐Maxwell方程组存在一些本质上的困难，如电磁场中的旋度微分算子比椭圆边值问题的梯度微分算子具有更大的核空间等。利用之前的最优误差估计的结果，我们还设计了关于时谐Maxwell方程组棱元离散系统的两网格法，并且给出了相应的误差分析。数值实验验证了理论的正确性和两网格算法的高效性。最后，分别针对变系数H(curl)椭圆方程组和不定时谐Maxwell方程组，在不需要标记振荡项和加密单元不需要满足“内节点”性质

8、的前提下，证明了关于一般棱元的自适应有限元法的收敛性和拟最优复杂性。在工程与科学计算的实际应用问题中，有许多因素可能对电磁场传播产生强奇性，如物理区域是一个非光滑的几何区域(如凹角或裂缝等)，电磁波传播区域内的介质的材料系数不连续，或