高等数学常用概念及公式.docx

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1、高等数学常用概念及公式极限的概念当x无限增大（x→∞）或x无限的趋近于x0（x→x0）时，函数f(x)无限的趋近于常数A，则称函数f(x)当x→∞或x→x0时，以常数A为极限，记作：limf(x)=A或limf(x)=Axxx0导数的概念设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，对自变量的增量x＝x-x0，函数有增量y=f(x)-f(x0，如果增量比y当x→0时有极限，则称)x函数f(x)在点x0可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x0的导数，记为f’(x0)，即f’(x0)＝limy=limf(x)f(x0)x0xxx0xx0也可以记为y’=

2、x=x0，

3、dyx=x0或df(x)x=x0dx

4、dx

5、函数的微分概念设函数y=f（x）在某区间内有定义，x及x+x都在此区间内，如果函数的增量y=f（x+x）-f(x)可表示成y=Ax+αΔx其中A是常数或只是x的函数，而与x无关，α当x→0时是无穷小量(即αΔx这一项是个比x更高阶的无穷小)，那么称函数y=f（x）在点x可微，而Ax叫函数y=f（x）在点x的微分。记作dy，即：dy=Ax=f’(x)dx不定分的概念原函数：设f(x)是定在某个区上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，于区上每一点都足F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx称函数F(x)是已知函数

6、f(x)在区上的一个原函数。不定分：F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，所有原函数F(x)+c（c任意常数）叫做函数f(x)的不定分，作f(x)dx求已知函数的原函数的方法，叫不定分法，称分法。其中“”是不定分的号；f(x)称被函数；f(x)dx称被表达式；x称分量；c任意数，称分常数。定分的概念函数f(x)在区[a，b]上，用分点a=x0

7、上任取一点ξi，作和式nIn=f(i)xii1当分点无限增加(n→∞)且所有小区度中的最大λ=max{xi}→0，和式In的极限，叫做函数f(x)在区[a，b]上的定分，作b，即f(x)dxabf(x)dx=limnf(ixi)an(0)i1其中f(x)称为被积函数，b和a分别称为定积分的上限和下限，区间[a，b]叫积分区间，x为积分变量。极限的性质及运算法则无穷小的概念：若函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为零，则称f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。无穷小的性质：性质1：有

8、限个无穷小的代数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。无穷大的概念：若当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则1为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则1就为无f(x)f(x)穷大。极限运算

9、法则：法则1：lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A+B法则2：lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B特别的：limcf(x)=c·limf(x)=c·A(c为常数)法则3：limf(x)limf(x)Ag(x)=limg(x)=B（其中B≠0）注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。两个重要极限：重要极限1：limsinx=1==》limsin()=1x0x()0()1重要极限2：lim

10、(1+1)x=e=》lim(1+1)（）=e或lim(1＋（）)（）=exx()()()0等价无穷小(x→0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替sinx~x；tanx~x；arcsinx~x；arctanx~x；ln(1x)~x；ex1~x；1cosx~1x2；1x1~1x；ax1~xlna.22导数的性质、求导法则及常用求导公式连续的概念：若函数f(x)在x0的某邻域内有定义，当x→x0时，函数的极限存在，且极限值等于函数在x0处的函数值f(x0)即limf(x)=f(x0)xx0则称函数在x0处是连续的。连续与可导的关系：定理：若函数f(x)在点x

11、0处可导，则函数在点x0处连续。(连续