高等数学常用概念及公式

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1、高等数学常用概念及公式l极限的概念当x无限增大（x→∞）或x无限的趋近于x0（x→x0）时，函数f(x)无限的趋近于常数A，则称函数f(x)当x→∞或x→x0时，以常数A为极限，记作：f(x)=A或f(x)=Al导数的概念设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，对自变量的增量Δx＝x-x0，函数有增量Δy=f(x)-f(x0)，如果增量比当Δx→0时有极限，则称函数f(x)在点x0可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x0的导数，记为f’(x0)，即f’(x0)＝=也可以记为y’=

2、x=x0，

3、x=x0或

4、x=x0l函数的微分概念设函数y=f（x

5、）在某区间内有定义，x及x+Δx都在此区间内，如果函数的增量Δy=f（x+Δx）-f(x)可表示成Δy=AΔx+αΔx其中A是常数或只是x的函数，而与Δx无关，α当Δx→0时是无穷小量(即αΔx这一项是个比Δx更高阶的无穷小)，那么称函数y=f（x）在点x可微，而AΔx叫函数y=f（x）在点x的微分。记作dy，即：dy=AΔx=f’(x)dxl不定积分的概念原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原

6、函数。不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c（c为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。其中“”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量；c为任意实数，称为积分常数。l定积分的概念设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，用分点a=x0

7、…,n），在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi，作和式In=当分点无限增加(n→∞)且所有小区间长度中的最大值λ=max{Δxi}→0时，和式In的极限，叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作，即=其中f(x)称为被积函数，b和a分别称为定积分的上限和下限，区间[a，b]叫积分区间，x为积分变量。l极限的性质及运算法则无穷小的概念：若函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为零，则称f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。无穷小的性质：性质1：有限个无穷小的代

8、数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。无穷大的概念：若当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则就为无穷大。极限运算法则：法则1：lim[f(x)±g(x

9、)]=limf(x)±limg(x)=A+B法则2：lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B特别的：limcf(x)=c·limf(x)=c·A(c为常数)法则3：lim==（其中B≠0）注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。两个重要极限：重要极限1：=1==》=1重要极限2：(1+)x=e=》(1+)（）=e或=e等价无穷小(x→0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替；；；；；；；；.l导数的性

10、质、求导法则及常用求导公式连续的概念：若函数f(x)在x0的某邻域内有定义，当x→x0时，函数的极限存在，且极限值等于函数在x0处的函数值f(x0)即f(x)=f(x0)则称函数在x0处是连续的。连续与可导的关系：定理：若函数f(x)在点x0处可导，则函数在点x0处连续。(连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点不一定可导)导数的计算步骤(按定义计算)：第一步求增量，在x处给自变量增量Δx，计算函数增量Δy，即Δy=f(x+Δx)-f(x)；第二步算比值，写出并化简比式：=；(化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有Δx项

11、，避免出现或)第三步取极限，计算极限=f’(x)常用基本初等函数的导数公式：；；；；；；；；；；；；；；导数