第三章--1.3可线性化的回归分析.doc

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1、1.3　可线性化的回归分析[学习目标]1．进一步体会回归分析的基本思想．2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．[知识链接]1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？答　首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？答　可以通过对解释变量进行变换，如对数

2、变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．[预习导引]1．非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．2．非线性回归方程曲线方程曲线图形公式变换变换后的线性函数y＝axbc＝lnav＝lnxu＝lnyu＝c＋bvy＝aebxc＝lnau＝lnyu＝c＋bxy＝aec＝lnav＝u＝lnyu＝c＋bvy＝a＋blnxv＝lnxu＝yu＝a＋bv要点一　线性回归分析例1　某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)423

3、5销售额y(万元)49263954(1)由数据易知y与x具有线性相关关系，若b＝9.4，求线性回归方程y＝a＋bx；(2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额．解　(1)＝＝3.5，＝＝42，∴a＝－b＝42－9.4×3.5＝9.1∴回归直线方程为y＝9.1＋9.4x.(2)当x＝4时，y＝9.1＋9.4×4＝46.7，故广告费用为6万元时销售额为46.7万元．跟踪演练1　为了研究3月下旬的平均气温(x)与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据：年份20

4、0620072008200920102011x/℃24.429.632.928.730.328.9y/日19611018(1)对变量x，y进行相关性检验；(2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．解　制表.i123456xi24.429.632.928.730.328.9yi19611018≈29.13，y2＝563，＝7.5，x＝5130.92，xiyi＝1222.6(1)r＝≈－0.9498.由

5、r

6、＞0.75，可知变量y和x存在很强的线性相关关系．(2)

7、b＝≈－2.3，a＝－b≈74.5.所以，线性回归方程为y＝74.5－2.3x.当x＝27时，y＝74.5－2.3×27＝12.4.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日．要点二　可线性化的回归分析例2　在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于表中：催化剂的量x/g1518212427303336化学物质的反应速度y(g·min－1)6830277020565350解　根据收集的数据，作散点图(如图)，根据已有的函数知识，可以发现

8、样本点分布在某一条指数函数曲数y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定的参数．令z＝lny，则z＝lny＝lnc1＋c2x，即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx(a＝lnc1，b＝c2)的周围．由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z与x的散点图(如图)．由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合．由z与x的数据表，可得线性回归方程：z＝0.8

9、48＋0.81x，所以y与x之间的非线性回归方程为y＝e－0.848＋0.81x.规律方法　可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合．跟踪演练2　电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055试求：电压U对时间t的回归方程．(提示：对

10、公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)解　对U＝Aebt两边取对数得lnU＝lnA＋bt，令y＝lnU，a＝lnA，x＝t，则y＝a＋bx，得y与x的数据如下表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关