证明数列是等差或等比数列的方法.docx

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1、一、证明或判断数列为等差数列的方法1.定义法在数列an中，若anan1d（d为常数），则数列an为等差数列例：已知正项数列an的前n项和为Sn，a12，且满足2Sn12Sn2N*）33an1（n证明：数列an是等差数列证明：由2Sn12Sn2an1)2Sn23an1得2(Sn3an1整理得4Sn3an22an11则4Sn122an3an两式相减得4an3an23a22a2a1nn1n3a23a22an12ann1n因为an是正项数列，所以anan10所以3an1an2，即an1an23所以an是首项为

2、2，公差为2的等差数列332.等差中项法anan22an1{an}是等差数列例：设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且(5n8)Sn1(5n2)SnAnB，n1，2，3，，其中A、B为常数（1）求A与B的值（2）证明数列an是等差数列解：（1）因为a11，a26，a311，所以S11，S27，S318把n1，n2分别代入5n8Sn15n2SnAnB得3771AB2181272AB解得：A20，B8（2）由（1）知5n8Sn15n2Sn20n8整理得5nSn1Sn8Sn12Sn20

3、n8供参考即5nan18Sn12Sn20n8①又5n1an28Sn22Sn120n18②②-①得5n1an25nan18an22an120即5n3an25n2an120③又5n2an35n7an220④④-③得5n2an32an2an10所以an32an2an10所以an3an2an2an1a3a25，又a2a15所以数列an是首项为1，公差为5的等差数列3.看通项与前n项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）（1）若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列；（2）若

4、数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列例：若Sn是数列an的前n项和，Sn2n，则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，也是等比数列D.既不是等差数列，也不是等比数列解析：根据（2）知an等差数列，不是等比数列二、明或判断数列等比数列的方法1.定义法在数列anq（q为常数），则数列an为等比数列an中，若an11ann为偶数例：121，数列an的首a1a，且an1，记bna2n14an14n为奇数4n1,2,3

5、⋯供参考（1）求a2，a3（2）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论解：（1）a2a11a1，a31a21a144228(2)a4a311a3,a51a41a34282416所以b1a11a1，b2a311a11(a1)4442824b3a511a11(a1)441644猜想bn是公比为1的等比数列2证明如下：因为bn1a2(n1)11a2n111a2n11(a2n11)11(a2n11)1bn4424244242所以{bn}是首项为a1，公比为1的等比数列．42例2：已知数列{an}的首项a1

6、5，前n项和为Sn，Sn12Snn5(nN)，证明数列{an1}是等比数列；解：由已知Sn12Snn5(nN*)可得n2时,Sn2Sn1n4两式相减得:Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an112(an1)，当n1时，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，从而a212(a11)．故总有an112(an1)，nN，又a15，a110an11．，从而2an1所以数列{an1}是等比数列．例3：设数列an的前n项的和为Sn，且a11,Sn14an2,nN*。（1）设

7、bnan12an，求证：数列bn是等比数列；证明：（1）n2时供参考an1Sn1Sn4an4an1，an12an2an2an1，bn2bn1又b1a22a1S23a1a123bn是首项为3，公比为2的等比数列。例4：设数列an的首项a11，前n项和sn满足关系3tsn2t3sn13t，求证an为等比数列。（错证）由题意：3tsn2t3sn13t3tsn12t3sn23t两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20即：3tan2t3an10an2t3为定值，所以an为等比数列。所以：3tan1由于在证

8、明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了n的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。正确的证明如下：n3时：3tsn2t3sn13t3tsn12t3sn23t两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20即：3tan2t3an10所以：an2t3an13t（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）又因为n2时：3ts22t3s13t即3ta1a22t3a13t供参考又因为a1