证明数列是等差或等比数列的方法

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1、一、证明或判断数列为等差数列的方法1.定义法在数列中，若（为常数），则数列为等差数列例：已知正项数列的前n项和为，，且满足（）证明：数列是等差数列证明：由得整理得则两式相减得因为是正项数列，所以所以，即所以是首项为，公差为的等差数列2.等差中项法是等差数列例：设数列的前n项和为，已知，，，且其中A、B为常数（1）求A与B的值（2）证明数列是等差数列解：（1）因为，，，所以把，分别代入得解得：，（2）由（1）知整理得即①又②②-①得即③又④④-③得所以所以，又所以数列是首项为1，公差为5的等差数列3.看通项与

2、前n项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）（1）若数列通项能表示成（，为常数）的形式，则数列是等差数列；（2）若数列的前n项和能表示成（，为常数）的形式，则数列是等差数列例：若是数列的前n项和，，则是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，也是等比数列D.既不是等差数列，也不是等比数列解析：根据（2）知等差数列，不是等比数列二、证明或判断数列为等比数列的方法1.定义法在数列中，若（为常数），则数列为等比数列例：设数列的首项，且，记，…（1）求，（2）判断数列是否为等比数列

3、，并证明你的结论解：（1），(2),所以，猜想是公比为的等比数列证明如下：因为所以是首项为，公比为的等比数列．例2：已知数列的首项，前项和为，，证明数列是等比数列；解：由已知可得时两式相减得:，即，从而，当时，，所以，又，所以，从而．故总有，又，从而．所以数列是等比数列．例3：设数列的前项的和为，且。（1）设，求证：数列是等比数列；证明：（1）时，，又是首项为3，公比为2的等比数列。例4：设数列的首项，前项和满足关系，求证为等比数列。（错证）由题意：两式相减得：即：所以：为定值，所以为等比数列。由于在证明的

4、过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。正确的证明如下：时：两式相减得：即：所以：（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）又因为时：即又因为，所以所以所以所以对任意都有为定值，所以为等比数列。总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标的取值范围，不管是；还是还是其它的情况，都在考虑定义的完整性，确保任何的后一项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加

5、以补充。1.看通项与前n项和法（1）若通项能表示成（，均为不为0的常数）的形式，则是等比数列（2）若数列的前n项和能表示成（、均为不等于0的常数，且）的形式，则数列是公比不为1的等比数列例：已知数列的前n项和，则数列是什么数列解析：由数列前n项和可知，数列是等比数列，首项，公比