证明数列是等差或等比数列的方法

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1、一、证明或判断数列为等差数列的方法1.定义法在数列中，若（为常数），则数列为等差数列例：已知正项数列的前n项和为，，且满足（）证明：数列是等差数列证明：由得整理得则两式相减得因为是正项数列，所以所以，即所以是首项为，公差为的等差数列2.等差中项法是等差数列例：设数列的前n项和为，已知，，，且其中A、B为常数（1）求A与B的值（2）证明数列是等差数列解：（1）因为，，，所以把，分别代入得解得：，（2）由（1）知整理得即①又②②-①得即③又④④-③得所以所以，又所以数列是首项为1，公差为5的等差数列

2、3.看通项与前n项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）（1）若数列通项能表示成（，为常数）的形式，则数列是等差数列；（2）若数列的前n项和能表示成（，为常数）的形式，则数列是等差数列例：若是数列的前n项和，，则是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，也是等比数列D.既不是等差数列，也不是等比数列解析：根据（2）知等差数列，不是等比数列二、证明或判断数列为等比数列的方法1.定义法在数列中，若（为常数），则数列为等比数列例：设数列的首项，且，记，…（1）求，（2

3、）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论解：（1），(2),所以，猜想是公比为的等比数列证明如下：因为所以是首项为，公比为的等比数列．例2：已知数列的首项，前项和为，，证明数列是等比数列；解：由已知可得时两式相减得:，即，从而，当时，，所以，又，所以，从而．故总有，又，从而．所以数列是等比数列．例3：设数列的前项的和为，且。（1）设，求证：数列是等比数列；证明：（1）时，，又是首项为3，公比为2的等比数列。例4：设数列的首项，前项和满足关系，求证为等比数列。（错证）由题意：两式相减得：即：所以：

4、为定值，所以为等比数列。由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。正确的证明如下：时：两式相减得：即：所以：（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）又因为时：即又因为，所以所以所以所以对任意都有为定值，所以为等比数列。总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标的取值范围，不管是；还是还是其它的情况，都在考虑定义的完整性，确保任何的后一项与相邻

5、前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加以补充。1.看通项与前n项和法（1）若通项能表示成（，均为不为0的常数）的形式，则是等比数列（2）若数列的前n项和能表示成（、均为不等于0的常数，且）的形式，则数列是公比不为1的等比数列例：已知数列的前n项和，则数列是什么数列解析：由数列前n项和可知，数列是等比数列，首项，公比正所谓：“穿金戴银能怎样，平平凡凡又如何，只要你能知足，就什么都不缺”.要知道有的人虽然贫穷，但感觉很幸福；有的人虽然富有，但浮而不实，忧虑重重。当然，人间的一切不幸几乎都与

6、钱有关，但有了钱并不代表真的幸福。　　乐观者的幸福府首皆拾，悲观者的幸福高山仰止。幸福到底是什么呢？幸福就是一家老、小、平平安安、团团圆圆，即使吃着粗茶淡饭，也满口香甜；幸福就是拥有一位甘苦与共、风雨同舟的知心朋友，可以有福同享有难同当；幸福就是拥有一颗平常心，过着比上不足，比下有余的日子，知足常乐！　　要知道幸福不是你有多少的钞票，也不是你有几座豪华的别墅、开什么牌子的名车，手上佩戴多少克拉的钻戒和多么华丽的衣裳。真正幸福的人，不一定拥有很多财富，但他们内心一定是踏实快乐的。所谓内心的幸福，是

7、过着和谐的正常生活所感到的快乐，这种幸福和满足是任何金钱换不来的。　　幸福，其实很简单，不一定是高官显禄，腰缠万贯，而是要懂得怎样生活。只要您不放弃对美好生活的追求，一家人健健康康的活着，开开心心的过着，用一颗平常之心享受平淡生活的美好，快乐地度过人生中的每一天，这就是幸福！因为平淡是一种“福”,它能让我们调整心态，在五味杂陈的大千世界里去发现生活的和谐之美，做到真正的满足！正像黄磊所言：“平凡日常的记忆，最关一餐一饭。平淡生活的温暖处，也许就是与家人、孩子在一起分享美食，分享品味美食的愉快心情

8、。无论走多远，最终也只是为了回家，回到餐桌前。”　　其实生命的过程，原本就是平平淡淡，就像一杯白开水，我们每天都在喝，不要羡慕别人喝的饮料里有各种颜色，其实未必有你的白开水解渴。不幸福是因为你的欲望太多，索求太多，在杯子里加入不同的成分，所以你的人生也就变得复杂起来。　　人生在世，浮浮沉沉，炎凉荣辱，需要的是在忙碌的生活中，求一份充实和简单，守一份心静，淡然的安洽于一份心静与知足。只要心简单了，世界就简单，那么到哪里都会有快乐！