证明或判断等差等比数列的常用方法

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1、证明或判断等差(等比)数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题,有关证明、判断数列是等差(等比)数列的题型比比皆是,如何处理这些题目呢?且听笔者一一道来.一、利用等差(等比)数列的定义在数列中,若(为常数)或(为常数),则数列为等差(等比)数列.这是证明数列为等差(等比)数更最主要的方法.如:例1.(2005北京卷)设数列的首项,且,记.(Ⅰ)求;(Ⅱ)判断数列是否为等比数列,并证明你的结论.解:(Ⅰ);(Ⅱ),所以,所以,猜想:是公比为的等比数列.证明如下:因为所以是首项为,公比为的等比数列.评析:此题并不知道数列的通项,先写出几项然后猜测出结论

2、,再用定义证明,这是常规做法。例2.(2005山东卷)已知数列的首项,前项和为,且(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)略.解:由已知可得时两式相减得:,即,从而,当时,,所以,又,所以,从而.故总有,又,从而.所以数列是等比数列.评析:这是常见题型,由依照含的式子再类似写出含的式子,得到的形式,再利用构造的方法得到所要证明的结论.本题若是先求出通项的表达式,则较繁.注意事项:用定义法时常采用的两个式子和有差别,前者必须加上“”,否则时无意义,等比中一样有:时,有(常数);②时,有(常数).二.运用等差或等比中项性质是等差数列,是等比数列,这是证明数列为等差(等

3、比)数列的另一种主要方法.例3.(2005江苏卷)设数列的前项为,已知,且其中为常数.(1)求与的值;(2)证明数列为等差数列;(3)略.解:(1)由,得.把分别代入,得解得,,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,即,①又.②②-①得,,即.③又.④④-③得,,∴,∴,又,因此,数列是首项为1,公差为5的等差数列.评析:此题对考生要求较高,通过挖掘的意义导出递推关系式,灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算.例4.(高考题改编)正数数列和满足:对任意自然数成等差数列,成等比数列.证明:数列为等差数列.证明:依题意,,且,..由此可得.即.数列为等差数列.评析

4、:本题依据条件得到与的递推关系,通过消元代换构造了关于的等差数列,使问题得以解决.三.运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确,用数学归纳法证明的步骤要熟练,从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡.例5.(2004全国高考题)数列的前项和记为,已知,.证明:数列是等比数列.证明:由,,知,,猜测是首项为1,公比为2的等比数列.下面用数学归纳法证明:令.(1)当时,,成立.(2)当时,,成立.假设时命题成立,即.那么当时,,命题成立.综上知是首项为1,公比为2的等比数列.例6.(2005浙江卷)设点和抛物线其中,由以下方法得到:,点在抛物线上,点到的距离是

5、到上点的最短距离,,点在抛物线上,点到的距离是到上点的最短距离.(1)求及的方程.(2)证明是等差数列.解:(I)由题意得:.设点是上任意一点,则令则由题意:即又在上,解得:,故方程为(II)设点是上任意一点,则令,则.由题意得g,即又即(*)下面用数学归纳法证明①当时,等式成立.②假设当时,等式成立,即则当时,由(*)知又  即当时,等式成立.由①②知,等式对成立.是等差数列.评析:例5是常规的猜想证明题,考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法;例6是个综合性比较强的题目,通过求二次函数的最值得到递推关系

6、式,再直接猜想然后用归纳法证明,解法显得简洁明了,如果直接利用递推关系式找通项,反而不好作.四.反证法解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑.如:例7.(2000年全国高考(理))设是公比不相等的两等比数列,.证明数列不是等比数列.证明:设的公比分别为,,,为证不是等比数列只需证.事实上,,又不为零,,故不是等比数列.评析:本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力,对逻辑思维能力有较高要求.要证不是等比数列,只要由特殊项(如

7、)就可否定.一般地讲,否定性的命题常用反证法证明,其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 .  五.看通项与前项和法若数列通项能表示成(为常数)的形式,则数列是等差数列;若通项能表示成(均为不为0的常数,)的形式,则数列是等比数列.若数列的前项和Sn能表示成(a,b为常数)的形式,则数列等差数列;若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q≠1)的形式,则数列是公比不为1的等比数列.这些结论用在选择填空题上可大大节约时间.例8.(2001年全国题)若S是数列的前项和,,则是(  ).A.等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C.

8、等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列解析:用到上

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