李雅普诺夫第二法教学文案.ppt

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1、李雅普诺夫第二法（3），则称是负定的。4.3李雅普诺夫第二法1.标量函数符号性质设是向量x的标量函数，且在x=0处，恒有对所有在定义域中的任何非零向量x，如果成立：4.3.1预备知识（1），则称是正定的。（2），则称是半正定(非负定)的。（4），则称是半负定(非正定)的。（5），或则称是不定的。例设4.3李雅普诺夫第二法2.二次型标量函数二次型标量函数可写为其中，P为实对称矩阵。例如：4.3李雅普诺夫第二法二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换，使之化为：此称为二次型函数的标准型，为P的特征值，则正定的充要条件是P的特征值均大于0。4.3李雅普诺夫第二法矩阵P的符号性质

2、定义如下：设P为n×n实对称阵，为由P决定的二次型函数，则（1）正定，则P正定矩阵，记为P>0;（2）负定，则P负定矩阵，记为P<0;（3）半正定，则P半正定矩阵，记为P≥0;（4）半负定，则P半负定矩阵，记为P≤0;4.3李雅普诺夫第二法3、希尔维斯特判据设实对称阵为其各阶顺序主子式，即矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：4.3李雅普诺夫第二法(2)若，则P负定；(1)若，则P正定；(3)若，则P半正定；(4)若　，则P半负定；4.3李雅普诺夫第二法解：二次型可以写为,,例证明如下二次型函数是正定的。可见此二次型函数是正定的，即4.3李雅普诺夫第二法定理设系统的状态方程为如果平衡状态即

3、，如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是半负定的。则平衡状态为在李亚普诺夫意义下的稳定。4.3.2几个稳定性判据4.3李雅普诺夫第二法4.3.2几个稳定性判据定理设系统的状态方程为如果平衡状态即，如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是负定的；或者为半负定，对任意初始状态，除去x=0外，有不恒为0。则平衡状态是渐近稳定的。进一步当，有，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。4.3李雅普诺夫第二法4.3.2几个稳定性判据定理设系统的状态方程为如果平衡状态即，如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x

4、具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是正定的。则平衡状态是不稳定的。4.3李雅普诺夫第二法说明：（1），则此时，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。（2）不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面相交，但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！4.3李雅普诺夫第二法解:显然，原点是系统平衡点，取，则又因为当时，有，所以系统在原点处是大范围渐近稳定的。例4-4已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。4.3李雅普诺夫第二法令【例4-5】已知系统的状态方程，试分析平衡状态的稳定性。解：线性系统，故是其唯一平衡点。将矩阵形式的状态方程展开

5、得到：取标量函数(李雅谱诺夫函数)：且当时，，4.3李雅普诺夫第二法半负定，不恒为0，渐近稳定。所以系统在其原点处大范围渐近稳定。另选一个李雅普诺夫函数：当时，，所以系统在其原点处大范围渐近稳定。4.3李雅普诺夫第二法解:系统具有唯一的平衡点。取则于是知系统在原点处不稳定。例4-8系统的状态方程为试确定系统在其平衡状态的稳定性。4.3李雅普诺夫第二法4.3.3对李雅谱诺夫函数的讨论（1）V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数；（2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定或者不稳定；（3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；（4）V(x

6、)最简单的形式是二次型；（5）V(x)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息；（6）构造V(x)需要一定的技巧。4.3李雅普诺夫第二法此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢