李雅普诺夫指数

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1、李雅普诺夫指数1.此指数的定义2.此指数的划分意义3.此指数用在混沌中，如何应用4.此指数在其他方面的应用5.此指数的几种计算方法一李雅普诺夫指数的定义李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。最大李雅普诺夫指数定义为其中，表示时刻最邻近两点间的距离；M为计算总步数。其中一维系统只有一个指数，二维系统有两个指数来表征。在实际计算中,要计算所有的Lyapunov指数,计算量较大,尤其当系统维数L较大时更为突出.所以注意力集中在计算系统的最大Lyapunov指数λm上

2、.具体推导过程见（李雅普诺夫指数）二此指数的物理意义系统的Lyapunov指数谱可有效地表征变量随时间演化时，系统对初值的敏感性。指数小于零说明体系的相体积在该方向上是收缩的，此方向的运动是稳定的；而正的指数值则表明了体系的相体积在该方向上不断膨胀和折叠，以致吸引子中本来邻近的轨线变得越来越不相关，从而使初态对任何不确定性的系统的长期行为成为不可预测，即所谓的初值敏感性。进一步意义设某一系统的指数谱为（从大到小排列），若该系统具有混沌吸引子，则必须同时满足以下条件（1）至少存在一个正李雅普诺夫指数（2）至少存在某一

3、指数为0（3）指数谱之和为负。三此指数在混沌系统中的应用混沌运动的基本特点是运动状态对初始条件的高度敏感性。两个极为靠近的初值所产生的轨道,随时间推移按指数形式分离,Lyapunov指数是定量描述这一现象的量。对所讨论的Duffing振子,若它的Lyapunov指数均小于零,则系统处于周期状态:若存在一个Lyapunov特性指数大于零,就说明系统是处于混沌状态。这种判别方法计算简单,物理意义明确,误差小。四李雅普诺夫指数在其他方面的应用1.在气候方面的作用Lyapunov指数不仅包含了耗散系统在相空间中体积收缩、膨

4、胀的几何特征变化,而且还表明了系统在特定时间内信息的变化,它可以作为短期气候预测的重要基础[3,4Lyapunov指数及其可预报时间尺度的意义有:该时间长序列是否为混沌系统,在某个方向上是指数辐散或辐合(膨胀或缩短),为短期气候预测指明最大可以预报的时间尺度。人们可以利用时间变量推出序列的关联维数及其Lyapunov指数,揭示序列的非线性演变特性和最大可预报的时间尺度,避免在做气候预报时的时间尺度过大的情形。在计算Lyapunov指数值的基础上,弄清楚Lyapunov指数与时间序列结构在较短的时间范围内稳定的前提条

5、件下,建立Lyapunov指数一维、二维及三维相空间的预测模式,综合考虑各种模式的预测结果,并对相空间模式的预测误差进行估计,最后作出要素的气候预测。]2.基于Lyapunov指数谱和Lyapunov指数谱熵的航空发动机状态识别和故障诊断新方法。基于实测的某型航空发动机振动时间序列求解了系统不同工作状态和故障状态的Lyapunov指数谱;基于Lyapunov指数谱,对该型航空发动机进行了状态识别和故障诊断;为给出对Lyapunov指数谱及其对状态识别和故障诊断的整体表述,定义Lyapunov指数谱熵,并基于该谱熵对

6、该型航空发动机进行了状态识别和故障诊断。Lyapunov指数,特别是最大Lyapunov指数即是系统混沌特性的度量特征量,对应于不同的运行状态或故障模式,其Lyapunov指数亦不相同,因而,可基于Lyapunov指数对系统的混沌状态进行识别,从而建立航空发动机状态识别和故障诊断方法。3.还可以用在判断混沌神经网络4.用于围岩系统的载荷演化还有许多方面的应用五计算此指数的几种方法用Logistic映射产生的模拟时间序列数据，采用两种从实验数据时间序列恢复动力学的方法，计算混沌吸引子的Lyapunov指数。一种方法是

7、S.J.Chang和J.Wright提出的混合嫡法〔8一〕，这种方法特别适合一维的实验系统。另一种方法是A.wolf提出的重构吸引子法〔7〕，这种方法可以推广到相空间维数及动力学规律都不知道的更普遍的实验系统，在原则上可以计算系统的全部正Lyapunov指数谱。具体的方法还有1.从动力学规律计算Lyapunov指数2.Chang一Wright混合嫡法Chang一wright混合嫡法仅适用于可化为一维凸映射的情况。一般来说，总点数N及盒子数凡越大，所得结果越精确。3.Wolf重构法Wolf重构法以Takens的延迟坐

8、标重构相空间技术为基础，对于一个由观测得到的实验数据时间序列x(t)以延迟坐标重构m维相空间中的一条轨道，计算最大Lyapunov指数的Wolf程序，一般适合于嵌入维m>1的重构吸引子的时间序列。