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1、第55卷第2期2006年2月物 理 学 报Vol.55,No.2,February,2006100023290P2006P55(02)P0572205ACTAPHYSICASINICAn2006Chin.Phys.Soc.多变量时间序列最大李雅普诺夫指数的计算•卢 山 王海燕(东南大学经济管理学院,南京 210096)(2005年5月26日收到;2005年6月17日收到修改稿) 根据单变量时间序列计算最大Lyapunov指数的算法思想,本文提出了一种于多变量时间序列最大Lyapunov指数计算的
2、方法.针对原有算法需要使用重构相空间的特点,推广算法给出了多变量时间序列相空间重构参数的选择方法,并采用多变量重构相空间进行最大Lyapunov指数计算.经耦合RÊssler系统产生多变量时间序列的仿真计算,验证了该算法的有效性,推广算法的计算结果表明多变量时间序列的计算结果优于单变量的结果,且更加接近理论计算结果.关键词:多变量时间序列,相空间重构,Lyapunov指数PACC:0545时间序列进行仿真计算,以比较单变量和多变量时11引言间序列计算最大Lyapunov指数的精度,并分析数据长度对
3、计算精度的影响.最大Lyapunov指数定量地描述复杂系统相空间相邻轨道呈指数发散或收敛的性质,是描述系统21多变量时间序列的相空间重构[1]混沌动力学特性的重要参数之一.当系统的模型N已知时,可以利用相空间的切向量精确计算最大考虑有M个变量的时间序列{xn}n=1={x1,n,NLyapunov指数.当复杂系统只能获得观测时间序列x2,n,⋯,xM,n}n=1,作以下时间延迟重构时,为了计算最大Lyapunov指数,Wolf提出了轨道Vn(m1,⋯,mi,⋯,mM)[2]跟踪法,随后Rosens
4、tein等人进行了改进,但仍然=(x1,n,x1,n-τ,⋯,x1,n-(m-1)τ;111存在精度不高、受噪声影响大、计算量大等问题.为⋯;此文献[3]在深入研究相空间重构技术和轨道跟踪xi,n,xi,n-τ,⋯,xi,n-(m-1)τ;iii法的基础上提出了一种比较稳健的计算方法.这些⋯;方法都是对观测的单变量时间序列进行处理的,在xM,n,xM,n-τ,⋯,x1,n-(m-1)τ;MMM实际问题中,被观测的复杂系统往往是由多个变量T⋯),(1)描述,通过试验或者观测都可以获取到多变量时间这里
5、,n=J0,J0+1,⋯,N;J0=max(mi-1)τi+1.序列,理论上多变量时间序列比单变量时间序列包1≤i≤M含了更多关于原动力系统的信息,采用多变量时间其中τi和mi,i=1,2,⋯,M分别是延迟时间间隔序列计算得到的Lyapunov指数应更加真实[4].同时,和嵌入维数.实际问题中观测到的时间序列可能不是很长,较短延迟时间间隔τi,i=1,2,⋯,M采用最小互信的多变量时间序列是否也能获得较精确的最大息法对每一时间序列分别计算.为了计算嵌入维数Lyapunov指数,这是一个很有实际意义
6、的问题.本文mi,i=1,2,⋯,M,定义将给出多变量时间序列最大Lyapunov指数的计算Vn(m1,⋯,mi,⋯,mM)-[5,6](m)方法,通过耦合RÊssler混沌系统产生的多变量Vj1,⋯,mi,⋯,mM•通讯联系人.E2mail:shine@seu.edu.cn2期卢 山等:多变量时间序列最大李雅普诺夫指数的计算573
7、xi,n-xi,j
8、,
9、xi,n-τ-xi,j-τ
10、,=min(E(m1,⋯,mi,⋯,mM)),iiE(m,⋯,m,⋯,m)∈U(m+1)1iM0=max⋯,,(2
11、)1≤i≤M(9)
12、xi,n-(m-1)τ-xi,j-(m-1)τ
13、iiii则m1e,⋯,mie,⋯,mMe为M维多变量时间序列重构记Vn(m1,⋯,mi,⋯,mM)的最近邻点为Vη(n)(m1,时各独立系统的子相空间维数.利用这个结果可以[4,9—11]⋯,mi,⋯,mM),即给出多变量数据的重构相空间,下面的计算Vη(n)(m1,⋯,mi,⋯,mM)-机仿真结果表明通过该方法重构的相空间更加贴近Vn(m1,⋯,mi,⋯,mM)实际被观测系统,由此计算出的非线性不变量更加Vj(m1,⋯,mi,⋯
14、,mM)-接近理论数值.=max(3)j=J0,⋯,N;j≠nVn(m1,⋯,mi,⋯,mM),31多变量时间序列最大Lyapunov指数则J0≤η(n)≤N,且η(n)与m1,⋯,mi,⋯,mM有关.计算方法定义 在多变量时间序列重构的相空间中,对每个点e(n;m1,⋯,mi,⋯,mJ)Vj寻找其最近邻点V^j,这两个点之间必须有短暂的M1Vη(n)(m1,⋯,mi+1,⋯,mM)-M∑分离,以保证两个点沿着不同的轨道运行.定义分离i=1Vn(m1,⋯,mi+1,⋯,mM)=V
