2012高考冲刺样本12复数、推理与证明.doc

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1、第12部分——复数、推理与证明知识点总结精华考试内容： 　复数的概念．　　复数的加法和减法．　　复数的乘法和除法．　　数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．复数知识要点1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.⑵复数及其相关概念：①复数—形如a+bi的数（其中）；②实数—当b=0时的复数a+bi，即a；③虚数—当时的复数a+bi；④纯虚数—当a=0且时的复数a+bi，即bi.⑤复数a+

2、bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）②若，则是的必要不充分条件.（当，时，上式成立）2.⑴复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程.②表示线段的垂直平分线的方程.③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示

3、线段）.④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.②.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.注：.3.共轭复数的性质：，（a+bi）（）注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：②对任何，及有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.②在实数集成立的.当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若是1的立方虚数根，即，则.5.

4、⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：①.②若，是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：.6.⑴复数的三角形式：.辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.注：①为零时，可取内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.③设则.⑵复数的代数形式与三角形式的互化：，，.⑶几类三角式的标准形式：7.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.②当不

5、全为实数时，不能用方程根的情况.③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：棣莫弗定理：试题精粹江苏省2011年高考数学联考试题一、填空题:2．（江苏省南通市2010年高三二模）已知复数为实数，则实数m的值为▲．2．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）若将复数表示为是虚数单位的形式，则。[来源:学科网]解析：复数，则1.[来源:学。科。网Z。X。X。K]1.(江苏通州市2010年3月高三素质检测)若复数其中是虚数单位，则复数的实部为▲。-202．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）若（，是虚

6、数单位），则▲．1．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知复数，且，则。-12．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）已知，则复数=▲.2、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）若复数其中是虚数单位，则复数的实部为▲.-20[来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网Z#X#X#K]4．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）已知，且，则_____________．12.（2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知复数（是虚数单位），则▲.2、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已经复数满足（i是虚数单位），

7、则复数的模是。[来源:学科网ZXXK]2．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）已知复数的实部为，虚部为，则的虚部为．1二、解答题[来源:学科网]23．（江苏省南通市2010年高三二模）设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，．（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：M；[来源:学科网]（2）当a∈（0，］时，求证：a∈M；（3）当a∈（，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．23.(江苏通州市2010年3月高三素质检测)用数学归纳法证明不等式：。1．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分8分）[来

8、源:学

9、科

10、网][来源:学

11、科

12、网Z

13、X

14、X

15、K]写出的二项展开式（为虚数单位）