数列和不等式的微积分证明.doc

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1、第30讲:数列和不等式的微积分证明251第30讲:数列和不等式的微积分证明《选修2-2》(人教版).第32页习题1.3B组第1(3)题:证明不等式ex>1+x,x≠0.近年来,流行以该不等式及其变形为背景的数列不等式,记忆该不等式及其变形和如何赋值？是解决该类问题的关键;定积分源于求函数y=f(x)(f(x)>0)的图像与直线x=a,x=b(a

2、xi+1-xi)f(xi),或(xi+1-xi)f(xi+1)分别近似代替第i个小曲边梯形的面积,则,或就近似于曲边梯形的面积,且[]=[]=.易知,①当f(x)单调递增时,<<;②当f(x)单调递减时,<<;数列是特殊的函数,若对数列求和不等式与上述积分不等式进行联想,许多数列求和不等式的证明便得心应手,明了顺畅.例1:指数不等式ex≥1+x.[始源问题]:(2013年黄冈中学高三上学期期末考试题)在数列{an}中,a1=1,前n项和Sn满足:nSn+1-(n+3)Sn=0.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求证:…<9.[解析]:(Ⅰ)由n

3、Sn+1-(n+3)Sn=0n(Sn+1-Sn)=3Snnan+1=3Snnan+1-(n-1)an=3(Sn-Sn-1)nan+1=(n+2)an==an=;(Ⅱ)由=1+≤…≤…=;而++…+=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2(1-)<2…

4、S1=;当n≥2时,由an+Sn=n+3-()n-1an-1+Sn-1=n+2-()n-2(an-an-1)+(Sn-Sn-1)=1+()n-1an=an-1++()n(an-1)=(an-1-1)+()n2n(an-1)=2n-1(an-1-1)+12n(an-1)=nan=1+n()n;(Ⅱ)令bn=n()n,则an=1+bn,且{bn}的前n项和Mn=2-(n+2)()n<2Tn=a1a2…an=(1+b1)(1+b2)…(1+bn)≤…=

5、项公式;252第30讲:数列和不等式的微积分证明(Ⅱ)设数列{an}的前n项积为Tn,求证:Tn<3.[解析]:(Ⅰ)当n=1时,由an+Sn=n+2a1+S1=3a1=S1=1+;当n≥2时,由an+Sn=n+2an+1+Sn+1=n+3(an+1-an)+(Sn+1-Sn)=1an+1=an+an+1-1=(an-1)an-1=(a1-1)()n-1=()nan=1+()n;(Ⅱ)令f(x)=x-ln(1+x)(x)=1-=fmin(x)=f(0)=0f(x)≥0ln(1+x)

6、2+…+()n=1-()n<1Tn=(1+)[1+()2]…[1+()n]

7、n(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<++…+(<()n-1)<+++[1-()n-3]<+++<…<<2.当a>1时,<.利用该不等式,可以解决与此有关的求和不等式的上限问题.关于数列{an}:an=(p>q>1)的求和不等式还可用递推法:如本题an==<=an-1an

8、x2…xn>.[解析]:(Ⅰ)由f(1)=1,f()=a=b=1xn+1==(+1)-1=(-1)-1=()n-1xn=;