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1、小波分析第三讲-小波与多分辨分析小波变换与多分辨分析信号空间(signalspace)尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波函数(waveletfunction)——y(t)多分辨分析(MRA)尺度函数系数h0[n]与小波函数系数h1[n]的特性尺度函数j(t)与小波函数y(t)的设计方法为了从数学概念和工程概念上更好地理解小波分析，将通过分辨率的概念来阐述小波理论。尺度函数(scalingfunction)——j(t)多分辨分析(MultiresolutionAnalysis,MRA)小波函数(waveletfunction)——y(t)信号空间(
2、signalspace)小波变换与多分辨分析由泛函理论，任意信号可以看作是某个特定集合中的一个元素，该特定集合包含相同属性的所有信号。该特定的信号集合，称为信号空间。L2(R)信号空间包含所有定义在实数域R上的信号，且每个信号都满足：信号空间L2(R)称之为平方可积空间。小波变换与多分辨分析信号空间(signalspace)由尺度函数j(t)经过平移k而得到的函数定义为定义所有可由信号jk(t)线性表达的信号空间V0为V0称为由信号jk(t)张成的闭信号空间，且小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)则表明存在着同时也意味着若信号x(t
3、)可以由信号jk(t)线性表达，小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)则同理可以得到由信号jj,k(t)张成的信号空间Vj若由尺度函数j(t)经过展缩和平移而得到的不同尺度j下的尺度函数jj,k(t)定义为小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)由尺度函数展缩可得不同尺度下的尺度信号尺度越大，对应的信号的分辨率越高。小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)由于信号jj,k(t)比jj-1,k(t)在时域上更窄，因此jj,k(t)可以表达更多的信号，即信号jj,k(t)
4、张成的信号空间Vj比信号jj-1,k(t)张成的信号空间Vj-1大。同理可得：小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)由高分辨率尺度信号张成的信号空间包含由低分辨率尺度信号张成的信号空间，即存在：小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)通过尺度函数j(t)的尺度展缩，就可以改变尺度函数的分辨率，从而建立了尺度函数、分辨率及信号空间之间的关系。若信号x(t)可以由尺度函数jj,k(t)表达，则信号x(2t)可以由尺度函数jj+1,k(t)表达，即小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction
5、)——j(t)根据信号空间的包含关系，若存在则必然这表明若信号x(t)可由尺度函数jj,k(t)线性表达，则必然可以由尺度函数jj+1,k(t)线性表达。低分辨率信号可以由高分辨率信号线性表达。小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)h0[n]是尺度函数系数(scalingfunctioncoefficient)，也称为尺度滤波器(scalingfilter)单位脉冲响应。该式称为尺度函数j(t)的多分辨分析(MRA)方程，该递归方程是尺度函数理论的基础。小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)Haar
6、尺度函数三角尺度函数小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)根据信号空间的概念，由尺度函数j(t)同样可以定义小波函数y(t)，再由小波函数y(t)经过尺度展缩与平移得到小波信号yj,k(t)，即小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)——y(t)小波信号yj,k(t)设计为尺度信号jj,k(t)的正交信号，即存在WjVj正交和小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)—y(t)信号x(t)将信号x(t)展开为尺度信号jj,k(t)和小波信号yj,k(t)，可以更有效地表达信号x(t)中的不同分
7、量，有利于信号的分析与处理。尺度信号jj,k(t)小波信号yj,k(t)粗略信息(coarseinformation)精细信息(fineinformation)小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)——y(t)…小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)——y(t)初始尺度j=3初始尺度j=-3初始尺度j=j0初始尺度信号x(t)也可完全由小波信号表达信号x(t)可由小波信号和尺度信号共同表达小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)——y(t)由于小波函数y(t)隶属于由尺
