ch82小波与多分辨分析

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1、数字信号处理(DigitalSignalProcessing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地信号时频分析问题的提出短时傅里叶变换小波展开与小波变换小波变换与多分辨分析小波变换与滤波器组基于小波的信号处理及应用为了从数学概念和工程概念上更好地理解小波分析，将通过多分辨率的概念来阐述小波理论。尺度函数(scalingfunction)—f(t)多分辨分析(MultiresolutionAnalysis,MRA)小波函数(waveletfunction)—y(t)小波变换与多分辨分析定义:多分辨分析(Multi-ResolutionAnalysis，MRA)1)存在一组嵌套

2、的子空间，满足2)尺度不变性x(t)Vjx(2t)Vj+13)位移不变性x(t)V0x(t-k)V04)存在尺度函数(scalingfunction)f(t)，使得{f(t-k)；kZ}是V0的一个规范正交基。由以上性质可得：{fj,k(t)=2j/2f(2jt-k)；kZ}是Vj规范正交基尺度函数与多分辨分析多分辨分析空间嵌套关系示意图尺度函数与多分辨分析例：Haar多分辨分析(分段常数函数构成的MRA)V0:在区间上[k,k+1),kZ分段常数函数构成的构成的空间V1:在区间上[k/2,(k+1)/2),kZ分段常数函数构成的构成的空间V2:在区间上[k

3、/22,(k+1)/22),kZ分段常数函数构成的构成的空间Vj:在区间上[k/2j,(k+1)/2j),kZ分段常数函数构成的构成的空间V0的一个规范正交基为{fH(t-k)；kZ}为称fH(t)为Haar尺度函数。{fj,k(t)=2j/2f(2jt-k)；kZ}是Vj规范正交基尺度函数与多分辨分析信号在嵌套子空间Vj中的正交投影：对任意x(t)L2，由于{f1,k(t)=21/2f(2t-k)；kZ}是V1规范正交基，所以x(t)在V1中的正交投影可表示为一般地，x(t)在Vj中的正交投影可表示为例：Haar多分辨分析函数x(t)在子空间V0和V1在的正交投影

4、h0[n]:尺度函数系数(scalingfunctioncoefficient)，也称为尺度滤波器(scalingfilter)。尺度函数f(t)的MRA方程尺度函数与多分辨分析f(t)V0f(t)V1由{f1,k(t)kZ}的正交性可得scalingequationdilationequationrefinementequation例：试求Haar多分辨分析系统中的h0[k]。解：小波函数与正交补空间由于V0V1，定义空间V0在V1中的正交补空间为W0，即V1=V0W0W0V0V1对给定的多分辨分析系统，则存在小波函数y(t)，使得{y(t-k);kZ}是W0的正

5、交基。一般地，空间Vj在Vj+1中的正交补空间为Wj，即Vj+1=VjWj{yj,k(t)=2j/2y(2jt-k)；kZ}是Wj的正交基。例：试求Haar多分辨分析中的小波函数yH(t)。解：由定义可知V1=W0V0所以yH(t)V1，即yH(t)在区间[0,1/2]，[1/2,1]必须是常数。又由于yH(t)必须与V0正交，所以yH(t)的一个解为小波函数与正交补空间小波函数y(t)的MRA方程V1=W0V0W0V1y(t)W0V1y(t)可用V1空间的正交基{f1,k(t);kZ}表示为h1[k]称为小波函数系数(waveletfunctioncoeff

6、icient)。由{f1,k(t)kZ}的正交性可得例：试求Haar多分辨分析系统中的h1[k]。解：h0[k]与h1[k]的关系为小波函数与正交补空间离散小波变换若x(t)V2，则有V2=W1V1=W1W0V0所以{f0,k(t)，y0,k(t)，y1,k(t);kZ}构成了空间V2的一个正交基，x(t)可表示为小波函数与正交补空间离散小波变换一般地，若x(t)L2，则有L2=V0W0W1W2{f0,k(t),y0,k(t),y1,k(t),y2,k(t)，;kZ}构成了空间L2的一个正交基，其中