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1、对坐标的曲线积分求和取极限取近似取即近似值精确值2二、对坐标的曲线积分的概念与性质1.定义设L为xOy面内从点A到点B的一条用L上的点:把L分成n个有向小弧段有向光滑曲线弧,函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.上任意取定的点.定义10.23如果当各小段长度的最大值的极限总存在,记作则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧L上或称第二类曲线积分.对坐标x的曲线积分,即类似地定义称Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.积分弧段被积函数42.存在条件当P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲
2、线弧L上则第二类连续(或在L上只有有限个间断点,并且有界),曲线积分存在.以后总假定P(x,y),Q(x,y)在L上连续.53.组合形式点积形式其中有向曲线元向量形式为向量值函数,64.物理意义⌒⌒⌒有向曲线元⌒沿AB所作的功W75.推广空间有向曲线弧Γ,86.性质性质1假设向量值函数在曲线L上连续.向量形式9LL1L2若把有向曲线弧L分成两段光滑的有向性质2曲线弧L1和L2,则相反的有向曲线弧,则设L是有向光滑曲线弧,性质3对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.-L是与L方向10补充在分析问题和算题时
3、常用对称性质.L在上半平面部分与下半平面部分P(x,y)为P(x,y)为其中L1是曲线L的上半平面的部分.类似地,对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段光滑的,关于的走向相反时,则x轴对称,y的偶函数,y的奇函数的讨论也有相应的结论.对11将原式分成两部分,即曲线关于的走向与L在下半部分的走向相反,被积函数为利用对称性质.L在上半部分x轴对称,y的偶函数.原式例取逆时针方向.其中ABCDA为解12曲线关于L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反,被积函数为所以,y轴对称,x的偶函数.13对坐标的曲线
4、积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算因此下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.解法化为参变量的定积分计算14定理10.3且连续,且设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B,为端点的闭区间上具有一阶连续当参数t单调地由导数,则曲线积分证先证15设分点xi对应参数ti,由定义由于因为L为光滑弧,所以同理可证拉格朗日中值定理16特殊情形(1)(2)则则x起点为a,终点为by起点为c,终点为d,17(3)推广18例解⌒⌒(1)化为对x的积分19(2
5、)化为对y的积分20其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为解化成参数式方程为于是例A点对应B点对应21例(1)L是上半圆周反时针方向;解A点对应(2)L是x轴上由点到点的线段.(1)中L的参数方程为B点对应其中原式=22(2)L的方程为原式=(2)L是x轴上由点到点的线段.其中23练习则曲线积分设L为圆周在第一象限中的部分的值为().解设L的参数方程为(逆时针方向),24设A对应例设点M(x,y,z)的向径一单位正电荷沿光滑曲线Γ:解即根据库伦定律,位于原点(0,
6、0,0)处的电荷q产生的静电场中,所作的功W.从点A移到点B,B对应的电场力位于点M处的单位正电荷受到⌒求电场25因此所求的功为其中分别是点A和B到原点的距离.此例表明,静电场电场力作功只与正电荷运动的起点和终点的位置有关,而与运动的路径无关.凡是具有这种特性的力场,称保守力场.26?四、两类曲线积分之间的关系设有向平面曲线弧为则L上点(x,y)处的切线向量的方向角为有向曲线弧L的切向量为27可用向量表示有向曲线元则推广空间曲线Γ上点(x,y,z)处的切线向量的方向角为28例解所以把对坐标的曲线积分
7、化为对弧长的曲线积分.其中L为沿抛物线点(0,0)到(1,1).从29对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的计算两类曲线积分之间的联系五、小结四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为定积分计算对坐标曲线积分的物理意义变力沿曲线所作的功关于曲线方向的性质注意:对坐标的曲线积分的性质30思考题答案31作业习题10.2(425页)32此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
