数学建模教程及例题分析.ppt

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1、数学建模初步共享资源:密码：数学模型初步——总论一、模型？模型是实物、过程的表示，可能是对实体的模仿、模拟，也可能是某些基本属性的抽象。二、数学模型？对所研究的对象进行模拟，是用数学思维方法将要解决的问题进行简化、抽象处理，用数学符号、公式、图表等刻画实物本质属性及内在规律。是联系实际问题与数学的一座桥梁。数学模型初步——总论三、适用的范围？社会、经济、环境、生态、医学等等领域。要建立一个好的数学模型，不尽需要数学的知识，还必须了解其他领域内与之相关的内容。数学模型初步——模型一车辆的停止距离正常的驾

2、驶条件对车与车的跟随距离的要求是每十英里的速率可以允许一辆车的跟随距离，但是在不利的天气或道路条件下要有更长的跟随距离。如何处理不利的情况？两秒钟法则——不管车速多少，看着你前面的车子刚驶过你能确定的固定点，然后默数“一千零一，一千零二”，如果你刚数完就到了那个固定点，就表示你与前车靠的太近。数学模型初步——模型一识别问题：该法则是否很好？太模糊！最好提出一个新的问题，该问题的解决和回答有助于我们进行更为精确地数学分析，并同时实现目标。问题陈述：预测作为车辆速率的函数的车辆的总的停止距离。问题假设：围

3、绕一个很明显的原理进行假设：总的停止距离=反应距离+刹车距离数学模型初步——模型一反应距离？司机从意识到要停车的时刻到真正刹车时刻期间车辆走过的距离刹车距离？刹车后使车辆完全停下来所滑行的距离。反应距离相关的子模型：反应距离=f（反应时间，速率）相关影响因素：个体驾驶因素，系统时间（几乎可以忽略，原因是现代车辆比较安全）（子模型一）数学模型初步——模型一个体驾驶因素的反应时间又由反射的本能、警觉程度、能见度等多重因素决定。但由于我们是研究一个一般的规律，所以只在研究中取以上几因素的平均值反应距离的影响

4、因素考察完毕，一下是对影响刹车距离的因素考察。最最最最重要的是：车身总量，行驶速度。相关合理因素：刹车的效率，车胎类型和状态，道路表面的情况，天气条件等。为了研究方便，仍然取这些因素的平均值。数学模型初步——模型一刹车距离=h（重量，速率）（子模型二）总结建模过程：1.识别问题；对现象做一般性观察2.做出假设；关于现象的假设、研制检验假设方法、用数据检验假设3.求解模型；4.验证模型；数学模型初步—模型二1.3.1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，

5、椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性数学模型初步—模型二用数学语言把椅子位置和四只

6、脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地数学模型初步—模型二模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h

7、(/2)<0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定数学模型初步—模型二数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出

8、折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数