因式分解难题解析.doc

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1、因式分解难题解析詹码论坛站长在因式分解时，有时会用到以下两个公式：下面精选了十个实例进行讲解。01x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2分析：一眼就可看出，这是3次的齐次多项式。一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组。x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2=x3-xy2-xz2+yz2+x2z-2xyz+y2z=x(x2-y2)-z2(x-y)+z(x2-2xy+y2)=x(x-y)(x+y)-z2(x-y)+z(x-y)2=(x-y)(x2+xy-z2+z

2、x-zy)此题若不进行科学分组会很困难。02分析：此题一看就应该知道用双十字相乘法分解。解：xy常数项14-11-23=(x+4y-1)(x-2y+3)注意：先看前三项，是否与x、y两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后再看x、常数项是否与x的系数相配，最后看y、常数项是否与y的系数相配。作业：①提示：先分组再变形最后用十字相乘法。难度较大。②提示：x2的系数看成0，然后再用双十字相乘法。xy11－2011原式＝（x＋y－2）（y＋1）也可用分组法，以x为主元。03bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 分

3、析：这个题目一看，映入眼帘的就是3个括号。瞧瞧括号里的b+c、c-a、a+b，看看这3项是否有某种联系前两项相加得不出第3项，但我们发现，后2项相加正好等于第1项。所以，这个题目中的第1项如果分成两部分，一部分配给第2项，一部分配给第3项会是不坏的注意。解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 作业：①②

4、③提示：需要拆分分组。04分析：拿到这道题，一看便知，这是高次，且包含多项的多项式。另外，还看到7、-13、6有着某种关系，所以不妨把它们按此发现分组。这样就有（2x4-2x2）+（7x3-13x+6）不难把13x分成7x和6x，配给7x3和6。这样，接着2x2(x2-1)+7x(x2-1)-6(x-1)至此对后的分解就不在话下了。对于这道题，细心的人也会发现，各项系数和为0，这意味着x=1是它的根，根据因式定理，就知道x-1是多项式的一个因子，然后，怎么分组都行，只要按照x-1的思路。作业：x3+2x2-5x-6 

5、提示：当偶次项的系数和（2+（-6）=-4）等于奇次项系数和（1+（-5）=-4）时，就有-1这个根。也就是说，x+1是多项式的一个因式。05分析：拿到这个题目，一看就觉得有某种对称关系：，，系数分别相等。显然，应该把它们分别结合，然后再考察。解：到了这里，似乎走进了死胡同。不用急，你再仔细看看，就会发现x4+1与x2+1长得挺像，一定有某种因缘。这里采用换元法，x2+1看成y。对于这种对称式多项式，为了看起来更明显，也可以用倒数换元法，即直接提取一个最高项的次方的一半：然后令，那么原式=====作业：①提示：看这个

6、多项式有什么特点，然后利用这个特点就可找到路径。②提示：以上要先进行适当变形后，才能进行换元。③(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)提示：一看便知，这是一个很有特色的式子。除了常数项，就只剩下x+y和xy。很容易想到，对它们工作应该有效。06(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc分析：这是一个轮换对称式，将a换成b，b换成c，c换成a，结果一样。这样的题目，一般有(a+b)、(b+c)、(c+a)因式，但并不确定。可以用a+b=0代入多项式中，如果等于0，则有这个因式。令a+b=0，(ab+bc

7、+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a))(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0，因此a+b=0是其一个因式。.同理，b+c、c+a也都是因式，三者的次数也正好是3次，不会有其他因式了。解：a+b=0，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a))(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0.由此可见，a+b是多项式的一个因式。同理可知，b+c、c+a都是它的一个因式。令(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)令a=0，b=1，c=2，则得

8、k=1这道题也可以用主元法，一堆字母组成的多项式，一般都可以用。以某一个字母为主，其他为辅，按主字母的降序重新排列多项式。(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc（假设以a为主元）=[a(b+c)+bc][a+(b+c)]-abc=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)（以a的降序排列）=(b+c)(a2+(b+c)a+bc)=(b+