2017青海单招数学模拟试题及答案解析.docx

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1、1、.已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．2、过点P（－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB的长．3、在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与它到点的距离之比为．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作垂直于轴的直线,求轨迹与轴及直线围成的封闭图形的面积．4、某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立.又知电梯只在有人下时才停止.（Ⅰ）求某乘客在第层下电梯的概率；（Ⅱ）求电梯在

2、第2层停下的概率；（Ⅲ）求电梯停下的次数的数学期望.5、如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达为止.（１）求甲经过到达Ｎ的方法有多少种；（２）求甲、乙两人在处相遇的概率；（３）求甲、乙两人相遇的概率.6、．设数列{n}满足1＝，n＋1＝n2＋1，．(1)当∈(－∞,－2)时，求证：M；(2)当∈(0,］时，求证：∈M；(3)当∈(,＋∞)时，判断元素与集合M的关

3、系，并证明你的结论．7、已知，当时，求证：⑴；⑵（参考答案）1、.2、：曲线的普通方程为．．3、（Ⅰ）．（Ⅱ）所求的封闭图形的面积．4、（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）的分别列如下表：1234∴5、（1）9种（２）.（３）.6、．（3）当时，．．7、（1）思路:，故当时，=.（2）由（1）得，可得左……．1、.已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为可得，，即c＋d＝6；………………………………………2分由矩阵A属于特征值1的一个

4、特征向量为，可得，即3c－2d＝－2，…………………………………………6分解得…………………………8分A的逆矩阵2、过点P（－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB的长．解：直线的参数方程为，…………………………3分曲线可以化为．……………………………5分将直线的参数方程代入上式，得．设A、B对应的参数分别为，∴．……………8分AB＝．…………………………………10分3、在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与它到点的距离之比为．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作垂直于轴的直线,求轨迹与轴及直线围

5、成的封闭图形的面积．（Ⅰ）设，由题意有，化简得．即动点的轨迹的方程为．………………4分（Ⅱ）当时，，即．………………6分设所求的图形的面积为，则=．故所求的封闭图形的面积．………………10分4、某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立.又知电梯只在有人下时才停止.（1）求某乘客在第层下电梯的概率；（2）求电梯在第2层停下的概率；（3）求电梯停下的次数的数学期望.解：（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）可取1、2、3、4四种值；；；故的分别列如下表：1234∴5、如图，在某城市中，两

6、地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达为止.（１）求甲经过到达Ｎ的方法有多少种；（２）求甲、乙两人在处相遇的概率；（３）求甲、乙两人相遇的概率.解：（１）甲经过，可分为两步：第一步，甲从经过的方法数为种；第二步，甲从到的方法数为种所以甲经过到达的方法数为种...2分（２）由（１）知，甲经过的方法数为；乙经过的方法数也为.所以甲、乙两人在处相遇的方法数为＝81；甲、乙两人在处相遇的概

7、率为.………………………6分（３）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；所以：＝164故甲、乙两人相遇的概率.答：（1）甲经过到达的方法数为种；（2）甲、乙两人在处相遇的概率为；（3）甲、乙两人相遇的概率.………………………10分6、．设数列{n}满足1＝，n＋1＝n2＋1，．(1)当∈(－∞,－2)时，求证：M；(2)当∈(0,］时，求证：∈M；(3)当∈(,＋∞)时，判断元素与集合M的关系，并证明你的结论．证明：（1）如果，则，．………………………………2分（2）当时，（）．事实上，

8、〔〕当时，．设时成立（为某整数），则〔〕对，．由归纳假设，对任意n∈N*，

9、an

10、≤＜2，所以a∈M．…………………6分（3）当时，．证明如下：对于任意，，且．对于任意，，则．所以，．当时，，即，因此.10分7、已知，当时，求证：⑴；⑵23.（1）因为，所以当时，=.　所以．………………………………4分