2013年高考数学压轴题突破训练--数列(含详解).doc

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1、高考数学压轴题突破训练：数列1.设函数．（1）若在定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）证明：①；②1.解：（1）　　　∵在单调，∴≤０或≥０在恒成立，即或在恒成立，∴≤０或≥1．（2）①设=，则，　当时，=0当时，＞0∴递增，当时，＜0∴递减，∴∴=≤0即（＞0）②由①，又＞∴左边=≤右边∴原不等式成立2.已知，数列满足，。（）（1）判断并证明函数的单调性；(2)数列满足，为的前项和。证明：<2.解：（1）≥0，仅当时，，故在R上单调递增。（2）为奇函数，,由（1）知当时，,即也就是在上恒成立。由已知得所以所以=3.已知数列的前项和为，若，（1）证明数列为等差数列，并求其通项公式;（

2、2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的取值范围。3.解：（1）令，，即由∵，∴，即数列是以为首项、为公差的等差数列，∴（2）①，即②∵，又∵时，∴各项中数值最大为，∵对一切正整数，总有恒成立，因此4.已知数列中，，且是函数的一个极值点。（1）求数列的通项公式；（2）若点Pn的坐标为，过函数图象上的点的切线始终与平行（点O为坐标原点）；求证：当时，不等式对成立。4.解：（1）∴∴∴，…∴，∴时，∴综上（2）由得∴∵，∴∴3.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项(),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（

3、Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.【解析】（Ⅰ）则，（Ⅱ）因为，所以当时，即；所以当时，；当时，.5.已知，，数列满足，，．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围5.解：（I）∵，，，∴．即．又，可知对任何，，所以．∵，∴是以为首项，公比为的等比数列．（II）由（I）可知=（）．∴．．当n=7时，，；当n<7时，，；当n>7时，，．∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．（III）由，得（*）依题意（*）式对任意恒成立，①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．　　　　　②当t<0时，由，可知（）．　

4、　　　　　而当m是偶数时，因此t<0不合题意．　　　　　③当t>0时，由（）,∴　∴．（）　　　　　　设（）　　　　　　∵=,　　　　　　∴．　　　　　　∴的最大值为．　　　　　　所以实数的取值范围是．6.已知函数．（Ⅰ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0，且，已知a1=4，求证：an³2n+2；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．6.解：(1)，．要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，当在内恒成立；当要使恒成立，则，解得，当恒成立，所以的取值范围为．（2）根据题意得：，

5、于是，用数学归纳法证明如下：当，不等式成立；假设当时，不等式成立，即也成立，当时，，所以当，不等式也成立，综上得对所有时，都有．(3)由(2)得，于是，所以，累乘得：，所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m7．（2012•四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．（Ⅰ）用a和n表示f（n）；（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．考点圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用。专综合题。解答：解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴正半轴相交于点

6、A，∴A（）对求导得y′=﹣2x∴抛物线在点A处的切线方程为，∴∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=an；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=an，则成立的充要条件是an≥2n3+1即知，an≥2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥当a=，n≥3时，an＞4n=（1+3）n≥1+=1+2n3+＞2n3+1当n=0，1，2时，∴a=时，对所有n都有成立∴a的最小值为；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=ak，下面证明：首先证明：当0＜x＜1时，设函数g（x）=x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=x（x﹣）当0＜x＜时，g′（x）＜0；当时，g′（x）＞0故函数g（

7、x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此，从而=≥=＞=6.(2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知数列与满足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（Ⅲ）设证明：．【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（Ⅰ）解:由,,可得,又