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时间:2018-07-18
《2013年高考数学压轴题突破训练--数列(含详解)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高考数学压轴题突破训练:数列1.已知数列为等差数列,每相邻两项,分别为方程,(是正整数)的两根.w(1)求的通项公式;(2)求之和;(3)对于以上的数列{an}和{cn},整数981是否为数列{}中的项?若是,则求出相应的项数;若不是,则说明理由.2.已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m.3.已知函数,数列{}是公差为d的等差数列,数列{}是公比为q的等比数列(q≠1,),若,,(1)求数列{}和{}的通项公式;(2)设数
2、列{}的前n项和为,对都有… 求4.各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn,函数(其中p、q均为常数,且p>q>0),当时,函数f(x)取得极小值,点均在函数的图象上,(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)(1)求a1的值;(2)求数列的通项公式;(3)记的前n项和Tn.5.已知函数且任意的、都有(1)若数列(2)求的值.6.已知函数,若数列:成等差数列.(1)求数列的通项;(2)若,令,求数列前项和;(3)在(2)的条件下对任意,都有,求实数的取值范围.7.已知函数,当时,(1)证明:(2)若,求实数的值。(3)若,记的图象为C,当时,过曲线
3、上点作曲线的切线交轴于点,过点作切线交轴于点,……依次类推,得到数列,求8.设函数.(1)若在定义域内为单调函数,求的取值范围;(2)证明:①;②.11.已知,数列满足,。()(1)判断并证明函数的单调性;(2)数列满足,为的前项和。证明:<。12.已知数列的前项和为,若,(1)证明数列为等差数列,并求其通项公式;(2)令,①当为何正整数值时,:②若对一切正整数,总有,求的取值范围。14.设是两个数列,点为直角坐标平面上的点.(Ⅰ)对若三点共线,求数列的通项公式;(Ⅱ)若数列{}满足:,其中是第三项为8,公比为4的等比数列.求证:点列(1,在同一条直
4、线上,并求出此直线的方程.15.已知数列中,,且是函数的一个极值点。(1)求数列的通项公式;(2)若点Pn的坐标为,过函数图象上的点的切线始终与平行(点O为坐标原点);求证:当时,不等式对成立。16.函数的反函数为,数列满足:,数列满足:,(1)求数列和的通项公式;(2)记,若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围.17.已知曲线y=,过曲线上一点(异于原点)作切线。(I)求证:直线与曲线y=交于另一点;(II)在(I)的结论中,求出的递推关系。若,求数列的通项公式;(III)在(II)的条件下,记,问是否存在自然数m,M,使得不等式m5、n恒成立,若存在,求出M-m的最小值;否则请说明理由。20.已知,,数列满足,,.(Ⅰ)求证:数列是等比数列;(Ⅱ)当n取何值时,取最大值,并求出最大值;(III)若对任意恒成立,求实数的取值范围.21.以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上,数列满足条件:,(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列,的前n项和分别为,,若,,求的值.22.已知函数,若数列:成等差数列.(1)求数列的通项;(2)若,令,求数列前项和;(3)在(2)的条件下对任意,都有,求实数的取值范围.24.已知函数.(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值6、范围;(Ⅱ)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且,已知a1=4,求证:an³2n+2;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较与的大小,并说明你的理由.答案1.解:(1)设等差数列的公差为d,由题意得由得由另解:由得(其余略)(2)(10分)(3)∵n是正整数,是随n的增大而增大,又<981,>981∴整数981不是数列{}中的项.2.解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.当n≥2时,7、an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5()(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,故Tn===(1-).因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.3.解:(1)数列{}为等比数列, ∴ 为等比数列, 又∵ , ∴ ,解得d=2, ∴ 又∵ 为等比数列,∴ 而 ,∴ ∵ ,,∴ ,∴ (2)由… ① … ② ①-②得∴ 对于,,,知其为等比数列 ∴ ,, ∴ 4.解:(I)解:令当x=变化时,8、f′(x),f(x)的变化情况如下表:(0,)(,1)1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值
5、n恒成立,若存在,求出M-m的最小值;否则请说明理由。20.已知,,数列满足,,.(Ⅰ)求证:数列是等比数列;(Ⅱ)当n取何值时,取最大值,并求出最大值;(III)若对任意恒成立,求实数的取值范围.21.以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上,数列满足条件:,(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列,的前n项和分别为,,若,,求的值.22.已知函数,若数列:成等差数列.(1)求数列的通项;(2)若,令,求数列前项和;(3)在(2)的条件下对任意,都有,求实数的取值范围.24.已知函数.(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值
6、范围;(Ⅱ)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且,已知a1=4,求证:an³2n+2;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较与的大小,并说明你的理由.答案1.解:(1)设等差数列的公差为d,由题意得由得由另解:由得(其余略)(2)(10分)(3)∵n是正整数,是随n的增大而增大,又<981,>981∴整数981不是数列{}中的项.2.解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.当n≥2时,
7、an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5()(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,故Tn===(1-).因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.3.解:(1)数列{}为等比数列, ∴ 为等比数列, 又∵ , ∴ ,解得d=2, ∴ 又∵ 为等比数列,∴ 而 ,∴ ∵ ,,∴ ,∴ (2)由… ① … ② ①-②得∴ 对于,,,知其为等比数列 ∴ ,, ∴ 4.解:(I)解:令当x=变化时,
8、f′(x),f(x)的变化情况如下表:(0,)(,1)1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值
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