高考数学集合总复习-数列的概念和简单表示法.docx

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1、数列的概念和简单表示法答案自主梳理1．一定顺序排列　每一个数　定义域为N*(或它的子集)a1，a2，a3，…，an，…　n　2.第n项　n　用一个公式　3.解析法(通项公式或递推公式)　列表法　图象法　4.有穷数列　无穷数列　递增数列　递减数列　摆动数列　常数列>　<　＝　5.S1　Sn－Sn－1自我检测1．C　2.C　3.C　4.C5.课堂活动区例1　解题导引　(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴

2、涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明．解　(1)原数列为，，，，，…，∴an＝＝.(2)原数列为，－，，－，，…，∴an＝.变式迁移1　解　(1)∵a1＝3＝21＋1，a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…，∴an＝2n＋1.(2)将数列中各项统一成分母为2的分数，得，，，，，…，观察知，各项的分子是对应项数的平方，∴数列通项公式是an＝.(3)将数列各项统一成的形式得，，，，…；观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是an＝.(4)从奇

3、数项，偶数项角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作数列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…对应项相加之和的一半组成的数列，也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示．所以an＝或an＝(n∈N*)，或an＝或an＝sin2(n∈N*)，或an＝(n∈N*)．例2　解题导引　利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：(1)累加法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的差的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n－1个式子相加，整理求出数列的通项公式．(2)累积法：如果已知数列{an}的相

4、邻两项an＋1与an的商的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n－1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．解　(1)当n＝1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，将其相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)．∴an＝a1＋＝2＋.(2)方法一　an＝··…···a1＝n－1·n－2·…·2·1＝1＋2＋…＋(n－

5、1)＝，∴an＝.方法二　由2n－1an＝an－1，得an＝n－1an－1.∴an＝n－1an－1＝n－1·n－2an－2＝n－1·n－2·…·1a1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝变式迁移2　解　(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1.∴＝n，＝n－1，……＝3，＝2，a1＝1.累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！.故an＝n！.(3)

6、∵an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an＝ln＝ln.∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，……a2－a1＝ln，累加可得，an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝lnn－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln2－ln1＝lnn.又a1＝2，∴an＝lnn＋2.例3　解题导引　an与Sn的关系式an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，求an时切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情况．一般地，当a1＝S1适合an＝Sn－Sn－1时，则需统一“合写”．当a1＝S1不适合an＝Sn－Sn－1时，则通项公式应分段表示，即an＝解　当n＝1时，a1＝

7、S1＝2×12－3×1＋1＝0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5；又n＝1时，an＝4×1－5＝－1≠a1，∴an＝变式迁移3　解　(1)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝.(2)由2＝an＋1，得Sn＝2，当n＝1时，a1＝S1＝2，得a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－2，整理，得(an＋an

8、－1)(an－an－1－2)＝0，∵数列{an}各项为正，∴an＋an－1>0.